32. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Если и , то ; если и , то аналогично Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа 0* . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

33. Локальный и глобальный экстремум функции

Определение. Точка x0 называется точкой локального максимума функции f ( x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности f (x) f (x₀ ).

Определение. Точка x0 называется точкой локального минимума функции f ( x) , если существует такая

окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности f (x)  f (x₀ ).Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются её локальными экстремумами. Термин "локальный экстремум" обусловлен тем, что введённое понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. Функция может иметь несколько экстремумов, причём минимум в одной точке может быть больше максимума в другой. Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума функции f (x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности f (x)  f (x0 ). Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального минимума функции f ( x) , если существует такая окрестность точки x0 , что для всех x из этой окрестности f (x)  f (x0 ) Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

34. Выпуклость и вогнутость графика функций. Точки перегиба.График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

35. Асимптоты графика функций.

Говорят, что прямая x=a является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции y=f(x), если хотя бы один из пределов равен ∞.

Если функция y=f(x) задана для , то говорят, что прямая y=kx+b является наклонной асимптотой непрерывной кривой y=f(x) при , если f(x)=kx+b+a(x) , где , т. е.  - бесконечно малая функция при Т е о р е м а. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при    наклонную асимптому, необходитмо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

,            

и тогда прямая  есть асимптота