12.Операция над пределами последовательностей.

Арифмитические операции над пределами сходящихся последовательностей:

Пусть , a и b-конечные числа,тогда:1) ; 2) ;3) , если b

13.Пределы функции в точке. Односторонние пределыв.

Опр1:Точка м-ва Х,если любая окрестность одержит точки мн-ва Х отличное от (.)

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать

Число А-предел ф-ции в точке , если для любого Е 0 найдется положительное число , зависящая от Е , такое что ,как только │

При │x-

Односторонние пределы.Опр2Левым пределом ф-ции f(x) в точке называется Опр3.Правым пределом f(x) в точке называется ТЕОРЕМА:Для того чтобы пределы н и д чтобы в точке существовали односторонние пределы F( и оба были равны числу А

14. Операции над пределами ф-ции.Пусть f(x) имеют конечные пределы ы точке т.е.

15.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр1.Ф-ция н-ся БМ при . Опр2. Ф-ция если . при

16.Замечательные пределы.(I) зам предел: (II) зам предел : (III)зп: (IV)зп: (V) зп:

17.Срачнение бесконечо малых функций.Пусть , Опр1: говорят,что одного порядка малости, если ; Опр2.говорят, что ; опр3.говорят, что k-того порядка малости по отношению к , если ; Опр4:БМ н-ся эквивалентные,если

18.Непрерывность функции одной переменньой в точке .Односторонняя непрерывность

Пусть определенана мн-ве . F(x)- непрерывная в точке ,если ф-ции в точке совпадает со значением ф-ции в точке опр2.f(x) н-ся непрерывной в точке , если ( опр.непрерывсности на языке прирощения)

19.Свойства в ф-ции.Непрерывность в точке. Поскольку точки  непрерывности функцииf(x) задаются условием  , то часть свойств функций, непрерывных в точке  , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.        Т 1   Пусть ф-ииf(x) g(x) непрерывны в точке  . Тогда функции   ,  непрерывны в точке   . Если  , то функция   также непрерывна в точке  .        Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее         Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности  точки    и непрерывных в этой точке. Тогда это множество   является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:         Доказательство.     Действительно, постоянные  это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке    пpоизведения  . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке    и сумма  .         Т 2   Пусть функции f  и g таковы, что существует композиция  ,  . Пусть функция  g непрерывна в точке  , а функция f  непрерывна в соответствующей точке  . Тогда композиция h=f*g непрерывна в точке  .         Доказательство.     Заметим, что равенство   означает, что при   будет  . Значит, (последнее равенство следует из непрерывности функции f  в точке  ). Значит, , а это равенство означает, что композиция   непрерывна в точке  .      Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу   на односторонние базы   или  и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:        Т 3   Пусть функцииf(x)  и g(x)  непрерывны слева (справа) в точке  . Тогда функции  ,  ,   непрерывны слева (соотв. справа) в точке  . Если g(  , то функция   также непрерывна слева (спpава) в точке   .            Т 4   Пусть функция g(x) непрерывна слева (справа) в точке  , а функция f(U) непрерывна в точке  . Тогда композицияh=f*g  непрерывна слева (соотв. справа) в точке  

20.Непрерывность сложной, обратной ф-цй. Теорема 1(арифметич.Операции над непрерывными ф-ми). Пусть ф-ииf(x) и g(x) непрерывны в т.x0. Тогда, в т.x0 будут непрерывными: 1.f(x)±g(x) 2.f(x)∙g(x) 3.f(x)/g(x), еслиg(x)≠0. lim(x→x0) f(x)/g(x)=lim(x→x0) f(x)/lim(x→x0) g(x)=f(x0)/g(x0), если g(x0)≠0. Теорема 2.(непрерывность сложной ф-ии). Пусть ф-ияy=f(U) непрерывна в т.U₀, а ф-ияU=ϕ(x)непрерывна в т.x0, причём ϕ(x0)=U₀. Тогда, сложная ф-ияy=f(ϕ(x)) непрерывна в т.x0 и lim(x→x0) y(x)=lim(x→x0) f(ϕ(x))=f(ϕ(x0)), при этом lim(x→x0) f(ϕ(x))=f(lim(x→x0) ϕ(x))=f(ϕx0)) –возможен предельный переход под знаком непрерывной ф-ии. Теорема 3. Y=f(x) имеет обратную ф-июx=f^-1(y) и непрерывна в т.x0∈X. Тогда, обратная ф-ияx=f^-1(y) будет непрерывнав т.y0=f(x0). Теорема 4 (о сохр-и знаканепрерывной ф-ии). Пусть ф-ияf(x) непрерывна в т.x0, и f(x0)>0, тогда сущ-ет окрестность в т.x0 (x0-δ, x0+δ), в кот. f(x) тоже будет>0.

21 Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.Опр1. н-ся непрерывной на мн-ве Х, если она не прерывна в каждой точке этого мн-ва. Непрерывность нек ф-ций: 2)y=x , при ( у=х непрерывна на всей числовой оси)3) Эта ф-ция непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных мн-телей.4)Целая рациональная ф-ция Непрерывная ф-ция на всей числовой оси, как сумма непрерывных слагаемых(каждое слагаемое есть произведение непрерывных ф-ций постоянной, степенной)5)Дробно-рациональная ф-ция отношение 2-х многочленов непрерывно в тех точках, где знаменатель .6)y=sinx(тригонометрическая) Из опр непрерывности ф-ции на языке прирощений следует, что y=sinx-непрерывна в люб точке числовой оси. 7) y=cosx-непрерывна , как сложная ф-ция от двух непрерывных ф-ций.8)y=tgx, y=ctgx- непрерывны в своей области определения.9) обратные тригонометрические ф-ции непрерывны-по теореме о непрерывности обратной ф-ции. Т1:Всякая элементарная ф-ция непрерывна в своей области определения.

22 Свойства функций, непрерывных на отрезке. Т1:Если ф-ция непрерывна на отрезке ,то на этом отрезке она ограничена. Т2: Если f(x) непрерывна на отрезке ,то на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений.Т3(о промежуточном значении непрерывности ф-ции) Пусть f(x) неприрывна на отрезке , , тогда для ,в которой . Т4: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда , в которой