1.6. Электрическое поле диполя

Рассмотрим поле простейшей системы точечных зарядов. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Электрическим диполем называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов –q и +q, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние. Пусть   – радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом, а вектор   – плечом диполя. Если длина   пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным.

Вычислим электрическое поле электрического точечного диполя. Поскольку диполь точечный, то безразлично в пределах точности расчета от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения А лежит на продолжении оси диполя (рис. 1.13). В соответствии с принципом суперпозиции для вектора напряженности, напряженность электрического поля в этой точке будет равна

,

при этом предполагалось, что  ,  .

Силы действующие на диполь в электрическом поле

Энергия диполя в электрическом поле

поле диполя | диполь в поле | энергия диполя

Имеется в виду потенциальная энергия диполя в однородном электрическом поле, которая, если диполь "отпустить", произведёт работу, поворачивая диполь. Работа при вращательном движении соответствует убыли потенциальной энергии диполя:

Отсюда потенциальная энергия диполя:

Энергия диполя:

• минимальна (W = -pE), когда p и E параллельны, 

• максимальна (рЕ), когда антипараллельны, 

• равна нулю, когда перпендикулярны.

(Смысл имеет только разность потенциальных энергий, поэтому ноль потенциальной энергии выбирается произвольно.)

8. Иэлектрики в электрическом поле

Установим метровую деревянную линейку на подставку, обеспечивающую возможность вращения вокруг вертикальной оси. Выполним такой же опыт, как с металлической трубой и заряженной палочкой.

Опыт покажет, что деревянная линейка — тело из диэлектрика — притягивается к заряженным телам подобно телу из проводящего материала. Однако если тело из диэлектрика разделить в электрическом поле на две части, то каждая из частей окажется нейтральной. В диэлектрике, помещенном в электрическое поле, заряды не разделяются, следовательно, в нем нет свободных зарядов. Притяжение незаряженного тела из диэлектрика к заряженному телу объясняется тем, что в электрическом поле происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение в противоположные стороны разноименных связанных зарядов, входящих в состав атомов и молекул вещества.

При отсутствии электрического поля электронное облако расположено симметрично относительно атомного ядра (рис. 115), а в электрическом поле с напряженностью   оно изменяет свою форму, и центр отрицательно заряженного электронного облака уже не совпадает с центром положительного атомного ядра (рис. 116).

В результате поляризации на поверхности вещества появляются связанные заряды (рис. 117). Эти заряды обусловливают взаимодействие нейтральных тел из диэлектрика с заряженными телами. Вектор напряженности   элек трического поля, создаваемого связанными зарядами на поверхности диэлектрика, направлен внутри диэлектрика противоположно вектору напряженности  внешнего электрического поля, вызывающего поляризацию (рис. 118). Напряженность электрического поля внутри диэлектрика оказывается равной   , или 

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности  электрического поля в вакууме к модулю напряженности  электрического поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества:

Связанные заряды. В результате процесса поляризации в объеме (или на поверхности) диэлектрика возникают нескомпенсированные заряды, которые называются поляризационными, или связанными. Частицы, обладающие этими зарядами, входят в состав молекул и под действием внешнего электрического поля смещаются из своих положений равновесия, не покидая молекулы, в состав которой они входят. Связанные заряды характеризуют поверхностной плотностью  . Выделим в поляризованном диэлектрике наклонную призму с основанием S и ребром L, параллельным вектору поляризации P (рис. 2.4). В результате поляризации на одном из оснований призмы появятся отрицательные заряды с поверхностной плотностью  , а на другой положительные заряды с плотностью  . С макроскопической точки зрения, рассматриваемый объем эквивалентен диполю, образованному зарядами   и  , которые отстоят друг от друга на расстояние L, тогда электрический момент призмы равен  . С другой стороны, электрический момент единицы объема равен  , где  - угол, между направлением нормали к основанию призмы и вектором P. Произведение   есть объем призмы. Приравняв друг к другу оба выражения для электрического момента, получаем, что поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации:

,

где n - единичный вектор нормали к поверхности диэлектрика.

Если вектор поляризации P различен в разных точках объема диэлектрика, то в диэлектрике возникают объемные поляризационные заряды, объемная плотность которых  .

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика

,

где N - число молекул в объеме  . Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса. В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов). Электронный тип поляризации характерен для диэлектриков с неполярными молекулами. Во внешнем электрическом поле (рис. 2.1) положительные заряды внутри молекулы смещаются по направлению поля, а отрицательные в противоположном направлении, в результате чего молекулы приобретают дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля 

Индуцированный дипольный момент молекулы пропорционален напряженности внешнего электрического поля  , где   - поляризуемость молекулы. Значение поляризованности в этом случае равно  , где n - концентрация молекул  ;   - индуцированный дипольный момент молекулы, который одинаков для всех молекул и направление которого совпадает с направлением внешнего поля. Ориентационнный тип поляризации характерен для полярных диэлектриков. В отсутствие внешнего электрического поля молекулярные диполи ориентированы случайным образом, так что макроскопический электрический момент диэлектрика равен нулю.

Если поместить такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, то на молекулу-диполь будет действовать момент сил (рис. 2.2), стремящийся ориентировать ее дипольный момент в направлении напряженности поля. Однако полной ориентации не происходит, поскольку тепловое движение стремится разрушить действие внешнего электрического поля. Такая поляризация называется ориентационной. Поляризованность в этом случае равна  , где <p> - среднее значение составляющей дипольного момента молекулы в направлении внешнего поля. Решеточный тип поляризации характерен для ионных кристаллов. В ионных кристаллах (NaCl и т.д.) в отсутствие внешнего поля дипольный момент каждой элементарной ячейки равен нулю (рис. 2.3.а), под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные стороны (рис. 2.3.б). Каждая ячейка кристалла становится диполем, кристалл поляризуется. Такая поляризация называется решеточной. Поляризованность и в этом случае можно определить как  , где  - значение дипольного момента элементарной ячейки, n - число ячеек в единице объема. 

Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением  , где   - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами, так что вектор напряженности E, характеризующий результирующее поле в диэлектрике,

.

Если обозначить объемную плотность свободных зарядов  , а связанных зарядов  , то присутствие связанных зарядов отразится в теореме Гаусса следующим образом:

,

в дифференциальной форме, либо в интегральной форме

.

С учетом выражения (2.1)

,

откуда для вектора электрического смещения (индукции) находим

.

Последнее выражение показывает, что вектор электрической индукции учитывает поляризованность среды. Возвращаясь к соответствующим формулировкам теоремы Гаусса

;  ,

можно видеть, что вектор электрического смещения характеризует источники электрического поля, т. е. свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается. Так как  , то  . Напряженность электрического поля характеризует как свободные, так и связанные заряды, поэтому вектор напряженности терпит разрывы на границах областей, где присутствуют связанные заряды, например на границе раздела двух диэлектриков с различными  .

,

где   - диэлектрическая проницаемость среды. Из формулы видно, что диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше напряженности поля в диэлектрике. Для вакуума  , для диэлектриков 

Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением  , где   - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

9. Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями   и   при отсутствии на границе свободных зарядов. Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

.

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

,

где   - значение   касательной составляющей усредненное по боковой поверхности  . Переходя к пределу при  (при   этом также стремится к нулю), получаем  , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции

.

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим

.

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора   терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора   непрерывна.

Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E1 и E2 у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами   и   при условии  . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения  . При переходе в среду с меньшим значением   угол, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в среду с большей линии векторов E и D, напротив, сгущаются и удаляются от нормали. Все вещества в соответствии с их способностью проводить электрический ток подразделяются на проводники, диэлектрики и полупроводники. Проводниками называют вещества, в которых электрически заряженные частицы - носители заряда- способны свободно перемещаться по всему объему вещества. К проводникам относятся металлы, растворы солей, кислот и щелочей, расплавленные соли, ионизированные газы. Ограничим рассмотрение твердыми металлическими проводниками, имеющимикристаллическую структуру. Эксперименты показывают, что при очень малой разности потенциалов, приложенной к проводнику, содержащиеся в нем электроны проводимости, приходят в движение и перемещаются по объему металлов практически свободно. В отсутствие внешнего электростатического поля электрические поля положительных ионов и электронов проводимости взаимно скомпенсированы, так что напряженность внутреннего результирующего поля равна нулю. При внесении металлического проводника во внешнее электростатическое поле с напряженностью Е0 на ионы и свободные электроны начинают действовать кулоновские силы, направленные в противоположные стороны. Эти силы вызывают смещение заряженных частиц внутри металла, причем в основном смещаются свободные электроны, а положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, практически не меняют своего положения. В результате внутри проводника возникает электрическое поле с напряженностью Е'. Смещение заряженных частиц внутри проводника прекращается тогда, когда суммарная напряженность поля Е в проводнике, равная сумме напряженностей внешнего и внутреннего полей, станет равной нулю: Представим выражение, связывающее напряженность и потенциал электростатического поля, в следующем виде: где Е - напряженность результирующего поля внутри проводника; n - внутренняя нормаль к поверхности проводника. Из равенства нулю результирующей напряженности Е следует, что в пределах объема проводника потенциал имеет одно и то же значение:  . Полученные результаты позволяют сделать три важных вывода: 1. Во всех точках внутри проводника напряженность поля  , т. е. весь объем проводника эквипотенциален. 2. При статическом распределении зарядов по проводнику вектор напряженности Ена его поверхности должен быть направлен по нормали к поверхности  , в противном случае под действием касательной к поверхности проводника компоненты напряженности   заряды должны перемещаться по проводнику. 3. Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой точки поверхности   Если проводнику сообщить избыточный заряд, то этот заряд распределится по поверхности проводника. Действительно, если внутри проводника выделить произвольную замкнутую поверхность S, то поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность должен быть равен нулю. В противном случае внутри проводника будет существовать электрическое поле, что приведет к перемещению зарядов. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие , суммарный электрический заряд внутри этой произвольной поверхности должен равняться нулю. Напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника можно определить, используя теорему Гаусса. Для этого выделим на поверхности проводника малую произвольную площадку dS и, считая ее за основание, построим на ней цилиндр с образующей dl (рис. 3.1). На поверхности проводника вектор Енаправлен по нормали к этой поверхности. Поэтому поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра из-за малости dl равен нулю. Поток этого вектора через нижнее основание цилиндра, находящееся внутри проводника, также равен нулю, так как внутри проводника электрическое поле отсутствует. Следовательно, поток вектора Е через всю поверхность цилиндра равен потоку через его верхнее основание dS':  , где Еn - проекция вектора напряженности электрического поля на внешнюю нормаль n к площадке dS.  П о теореме Гаусса, этот поток равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых поверхностью цилиндра, отнесенной к произведению электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды, окружающей проводник. Внутри цилиндра находится заряд  , где  - поверхностная плотность зарядов. Следовательно  и  , т. е. напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности электрических зарядов, находящихся на этой поверхности. Экспериментальные исследования распределения избыточных зарядов на проводниках различной формы показали, что распределение зарядов на внешней поверхности проводника зависит только от формы поверхности: чем больше кривизна поверхности (чем меньше радиус кривизны), тем больше поверхностная плотность заряда. Вблизи участков с малыми радиусами кривизны, особенно около острия, из-за высоких значений напряженности происходит ионизация газа, например, воздуха. В результате одноименные с зарядом проводника ионы движутся в направлении от поверхности проводника, а ионы противоположного знака к поверхности проводника, что приводит к уменьшению заряда проводника. Это явление получило название стекания заряда. На внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные зарядыотсутствуют. Если заряженный проводник привести в соприкосновение с внешней поверхностью незаряженного проводника, то заряд будет перераспределяться между проводниками до тех пор, пока их потенциалы не станут равными. Если же тот же заряженный проводник касается внутренней поверхности полого проводника, то заряд передается полому проводнику полностью. Эта особенность полых проводников была использована американским физикомРобертом Ван-де-Граафом для создания в 1931 г. электростатического генератора, в котором высокое постоянное напряжение создается посредством механического переноса электрических зарядов. Наиболее совершенные электростатические генераторы позволяют получать напряжение величиной до 15 - 20 МВ. В заключение отметим еще одно явление, присущее только проводникам. Если незаряженный проводник поместить во внешнее электрическое поле, то его противоположные части в направлении поля будут иметь заряды противоположных знаков. Если, не снимая внешнего поля, проводник разделить, то разделенные части будут иметь разноименные заряды. Это явление получило названиеэлектростатической индукции.наверх

11. Электроемкость – количественная мера способности проводника удерживать заряд.

Простейшие способы разделение разноименных электрических зарядов – электризация и электростатическая индукция – позволяют получить на поверхности тел не большое количество свободных электрических зарядов. Для накопления значительных количеств разноименных электрических зарядов применяются конденсаторы.

Конденсатор – это система из двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Так, например, две плоские металлические пластины, расположенные параллельно и разделенные слоем диэлектрика, образуют плоский конденсатор.

Если пластинам плоского конденсатора сообщить равные по модулю заряды противоположного знака, то напряженность электрического поля между пластинами будет в два раза больше, чем напряженность поля у одной пластины. Вне пластин напряженность электрического поля равна нулю, т. к. равные заряды разного знака на двух пластинах создают вне пластин электрические поля, напряженности которых равны по модулю, но противоположны по направлению.

Электроемкостью конденсатораназывается физическая величина, определяемая отношением заряда одной из пластин к напряжению между обкладками конденсатора:

При неизменном положении пластин электроемкость конденсатора является постоянной величиной при любом заряде на пластинах.

За единицу электроемкости в системе СИ принимают Фарад. 1 Ф – электроемкость такого конденсатора, напряжение между обкладками которого равно 1 В при сообщении обкладкам разноименных зарядов по 1 Кл.

Электроемкость плоского конденсатора можно вычислить по формуле:

, где

S – площадь обкладок конденсатора

d – расстояние между обкладками

 – диэлектрическая проницаемость диэлектрика

Электроемкость шара можно вычислить по формуле:

Энергия заряженного конденсатора.

Если внутри конденсатора напряженность поля E, тогда напряженность поля, созданного зарядом одной из пластин E/2. В однородном поле одной пластины находится заряд, распределенный по поверхности другой пластины. Согласно формуле для потенциальной энергии заряда в однородном поле энергия конденсатора равна:

Используя формулу электроемкости конденсатора  :

Сферический конденсатор. Два проводника, имеющие форму концентрических сфер с радиусами R₁ и R₂ (R₂ > R₁), образуют сферический конденсатор. Используя теорему Гаусса, легко показать, что электрическое поле существует только в пространстве между сферами. Напряженность этого поля 

,

где q - электрический заряд внутренней сферы;   - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками; r - расстояние от центра сфер, причем R₁  r  R₂. Разность потенциалов между обкладками

и емкость сферического конденсатора 

.

Цилиндрический конденсатор представляет собой два проводящих коаксиальных цилиндра радиусами R₁ и R₂ (R₂ > R₁). Пренебрегая краевыми эффектами на торцах цилиндров и считая, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с относительной проницаемостью  , напряженность поля внутри конденсатора можно найти по формуле: 

,

где q - заряд внутреннего цилиндра; h - высота цилиндров (обкладок); r - расстояние от оси цилиндров. Соответственно, разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора и его емкость есть 

Плоский конденсатор. Две плоские параллельные пластины одинаковой площадиS, расположенные на расстоянии d друг от друга, образуют плоский конденсатор. Если пространство между пластинами заполнено средой с относительной диэлектрической проницаемостью  , то при сообщении им заряда q напряженность электрического поля между пластинами равна , разность потенциалов равна  . Таким образом, емкость плоского конденсатора . Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Припоследовательном соединении n конденсаторов суммарная емкость системы равна 

Параллельное соединение n конденсаторов образует систему, электроемкость которой можно вычислить следующим образом:

12. Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна   . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем

С учетом, что   и 

(16.4)

или

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, 

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии dмного меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна 

C учетом соотношения  можно записать 

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и  Подставим выражение  , получим 

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поляЕ. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q_i на величину dr_i, составляет 

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно,  . Вектор P связан с вектором E соотношением  . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика

.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq, одинаковы и равны потенциалу  проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq. Тогда энергия заряженного проводника

Приняв во внимание определение емкости, можно записать 

Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника. Энергия заряженного конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q, равен  , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q, равен  . Энергия такой системы 

.

Энергию заряженного конденсатора можно представить в виде 

13.

14. Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S(рис. 4.1). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем

В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме

. Это соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд 

 ,

получим  . Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса - Остроградского), находим

 .

Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие

,

которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности.  Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить   равным нулю. Тогда  , следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

Смещение под действием электрического поля зарядов в проводнике всегда происходит таким образом, что электрическое поле в проводнике исчезает и ток прекращается. Для протекания тока в течение продолжительного времени на заряды в электрической цепи должны действовать силы, отличные по природе от сил электростатического поля, такие силы получили название сторонних сил. Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей тока в неоднородной среде, электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми переменными во времени магнитными полями, и т. д. Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, называется источником электрического тока. Сторонние силы характеризуют работой, которую они совершают над перемещаемыми по электрической цепи носителями заряда. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС)  , действующей в электрической цепи или на ее участке. Представим стороннюю силу  , действующую на заряд q, в виде 

,

где векторная величина   представляет напряженность поля сторонних сил. Тогда на участке цепи ЭДС равна

.

Интеграл, вычисленный для замкнутой цепи, дает ЭДС, действующую в этой цепи,

.

Последнее выражение дает самое общее определение ЭДС и пригодно для любых случаев. Если известно, какие силы вызывают движение зарядов в данном источнике, то всегда можно найти напряженность поля сторонних сил и вычислить ЭДС источника. Физическая природа электродвижущих сил в разных источниках весьма различна. 

Рассмотрим пример. Пусть имеется металлический диск радиуса R (рис. 4.2), вращающийся с угловой скоростью  . Диск включен в электрическую цепь при помощи скользящих контактов, касающихся оси диска и его окружности. Центростремительная сила  , где m - масса электрона; r - расстояние от оси диска. Эта сила действует на электрон и поэтому  , возникающая ЭДС равна

.

Немецкий физик Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному (отсутствуют сторонние силы)металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения на проводнике:

.

Рассмотрим произвольный участок цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд  . Это равносильно тому, что заряд q переносится за время tиз одного конца проводника в другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы, действующие на данном участке, совершают работу  . Разделив работу на время t, за которое она совершается, получим мощность, развиваемую током на рассматриваемом участке  . Эта мощность может расходоваться на совершение работы над внешними телами; на протекание химических реакций; на нагревание данного участка цепи и др. В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не совершается, работа тока затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего проводник нагревается. Принято говорить, что при протекании тока в проводнике выделяется тепло

                                          (4.1)      

Это соотношение называется законом Джоуля - Ленца. Оно было экспериментально установлено английским физиком Д. П. Джоулем и подтверждено точными опытами Э. Х. Ленца.