18. Обобщающие характеристики потоков платежей: наращенная сумма и современная величина. Коэффициенты наращения и приведения ренты. Определение параметров финансовых рент

Рассмотрим наращение при постоянных рентах.

а) годовая рента c годовой процентной ставкой ic. Пусть имеется ряд одинаковых платежей R, которые совершаются в конце каждого года на протяжении n лет, при этом на каждый уже совершенный платеж в дальнейшем происходит начисление раз в году сложных процентов по ставке ic и требуется определить наращенную сумму всех платежей в течении этих n лет. Таким образом здесь мы имеем дело с постоянной годовой рентой, члены которой имеют величину R, со сроком действия в течении n лет и годовой процентной ставкой ic.

Всего имеем n разовых платежей R. Заметим, что согласно условий ренты, на последний платеж проценты не начисляются, на предпоследний платеж проценты начисляются один год, на пред предпоследний - два года и т.д. Соответственно на первый платеж, проценты начисляются (n-1) лет.. Так как множитель наращения для сложных процентов за время равное одному году равен =(1+ic), то для наращенной суммы всех платежей получаем:

(4.1)

Здесь использовалась формула для суммы геометрической прогрессии со знаменателем . Заметим, что в этой формуле для наращенной суммы ренты не указываются количество платежей, конкретный вид платежа и конкретный вид множителя наращения , зависящего как от вида процентной ставки так и периода ренты, т.е. формула (4.1) записана для самого общего случая.

Подставляя значение множителя наращения =(1+ic) в формулу (4.1) получаем наращенную сумму годовой ренты с со ставкой ic:

(4.2)

где величина sn,i, зависящая от двух параметров n и i называется коэффициентом наращения ренты. Для коэффициента наращения ренты sn,i существуют специальные таблицы.

б) p - срочная рента c номинальной процентной ставкой j, начисляемой m - раз в году. Это самый общий случай (при p=1 и m=1 имеем годовую ренту, при p=1 имеем годовую ренту с номинальной процентной ставкой j, при m=1 имеем p - срочную ренту).

P - срочная рента выплачивается p - раз в году равными частями Rp=R/p, а время между платежами равно 1год/p, т.е. период ренты равен 1/p(год). На каждый такой платеж m - раз в году начисляются проценты по номинальной ставке j. Поэтому за время между платежами равное 1/p (года) множитель наращения по номинальной ставке j с начислением процентов m раз в году будет равен =(1+j/m)m/p. За весь срок ренты равный n лет будем иметь np платежей. Подставляя эти значения в формулу (4.1) получаем:

(4.3)

Преобразуем эту формулу к виду удобному для вычислений с помощью таблиц для коэффициентов наращения ренты sn,i. Разделив числитель и знаменатель на j/m имеем:

(4.4)

в) непрерывное начисление процентов для p-срочной ренты (p=1 соответствует обычной ренте). Пусть поток платежей дискретный с разовым платежом Rp=R/p, а проценты начисляются непрерывно в течении всего срока ренты равного n лет. Тогда для множителя наращения за время равное 1/p записать: =e/p. После подстановки в (4.1) имеем

(4.5)

где коэффициент наращения равен:

(4.6)

1.3. Современная величина обычной ренты.

Определение. Современной или приведенной величиной потока платежей (ренты) называется сумма всех дисконтированных членов такого потока к моменту времени соответствующему началу этого потока.

Современную величину иногда называют капитализированной стоимостью потока. Современная величина в финансовом смысле эквивалентна всем платежам, входящим в поток. Поэтому она находит широкое применение при анализе и сравнении различного рода финансовых обязательств и поступлений средств.

а) годовая рента c годовой процентной ставкой ic. Пусть дисконтный множитель за год имеет величину , а величина разового платежа равна R. Тогда приведенная величина первого платежа R будет равна R, соответственно приведенная величина второго платежа будет равна R2 и т.д. Для современной суммы всех платежей A имеем:

(4.7)

Формула (4.7) записана для общего случая. Подставляя сюда значение дисконтного множителя по сложной процентной ставке за период времени равный одному году =(1+ic)-1 получаем

(4.8)

где величина an,i называется коэффициентом приведения ренты. Для коэффициентов приведения ренты существуют таблицы.

б) рента p-срочная (mp). Это общий случай (при p=1 и m=1 имеем годовую ренту, при p=1 имеем годовую ренту с номинальной процентной ставкой j, при m=1 имеем p - срочную ренту). Множитель дисконтирования за время 1/p при номинальной ставке j ,будет равен =(1+j/m)-m/p, разовый платеж равен Rp=R/p, а всего платежей pn. Подставляя в (4.7) получаем:

(4.9)

в) p-срочная рента с непрерывным начислением процентов (p=1 соответствует обычной ренте). Множитель дисконтирования за время 1/p равен =e-/p. В соответствии с (4.7) для приведенной суммы получим:

(4.10)