Точная формулировка

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

16.возрастание и убывание

 Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)

  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.   График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).   Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂) і f (x₁), то функция f (x) называетсянеубывающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x₀ , x₁ ] она сохраняет постоянное значение C   Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

  Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки.   График убывающей функции показан на рисунке 1(б).   Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f(x₂) Ј  f(x₁), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x₀ , x₁ ] она сохраняет постоянное значение C.

17.экстремумы

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальноезначение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Определения

Пусть дана функция   и   — внутренняя точка области определения   Тогда

•  называется точкой локального максимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

•  называется точкой локального минимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

Если неравенства выше строгие, то   называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции   называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

18.первообразная функция.

Определения

Пусть дана функция   и   — внутренняя точка области определения   Тогда

•  называется точкой локального максимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

•  называется точкой локального минимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

Если неравенства выше строгие, то   называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции   называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

19.свойства неопределенного интеграла