Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная суммабесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием длядифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

[Править]Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

[Править]Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если  либо  .

[Править]Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то  — бесконечно большая последовательность.

9.замечательные пределы.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

10.непрерыность функции.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

11.

12.определение производной

Произво́дная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Физический смысл производной — скорость изменения величины или процесса. Разновидности:

• Производная функции

• Производная (обобщения)

• Частная производная

• Производная по направлению

• Производное множество — совокупность всех предельных точек этого множества.

1. Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций 

3. Производная произведения 

4. Производная дроби (производная частного) 

5. Производная сложной функции 

2. теоремы лагранжа и роля

Докажем две важные теоремы дифференциального исчисления.   Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значениеx₀ (a < x₀ < b), что

f ' (x₀) = 0.

  Доказательство. Рассмотрим два случая.   1. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.   2. Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a)- наименьшее значение, то наибольшее значение значение функцияf(x) примет внутри интервала.

Рис.1

  Пусть например f(x₀) - наибольшее значение функцииf(x) на интервале [а, b] и x₀ - внутренняя точка этого интервала. Тогда f(x₀) является максимумом функции: f(x₀) f(x) для всех x из достаточно малой окрестности x₀ [за эту окрестность можно впрочем, взять интервал (а, b)].   Так как, по условию, f(x) имеет в точке x₀ производную, то потеореме о необходимом признаке экстремума,

f ' (x₀) = 0,

и теорема Ролля доказана.   Теорема Ролля имеет простое геометрическое толкование: если дана дуга AB кривой y = f(x), в каждой точке которой существует касательная, причем концы A и B находятся на одинаковом расстоянии от оси Ox, то на этой дуге найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная t к кривой будет параллельна стягивающей дугу хорде, а следовательно и оси Ox (смотри рисунок 1).   Если повернуть оси координат на угол a, то концы A и B дуги ABуже не будут находится на одинаковом расстоянии от оси Ox', но касательная t по прежнему будет параллельна хорде AB (смотри рисунок 1). Поэтому естественно ожидать, что имеет место теорема:   Если дана дуга AB кривой y = f(x) с непрерывно изменяющейся касательной, то на этой дуге найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна стягивающей ее хорде AB(Рисунок 2).

Рис.2

  Эта теорема является геометрической перефразировкой следующей теоремы, известной под названиемтеоремы Лагранжа.   Теорема Лагранжа.Если функция f(x)непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x₀ (a < x₀ < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

  Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - k(x - a),

где   - угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).   Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.   В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), приx = b имеем

  Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b] и диференцируемы в (a, b), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a)непрерывна на [a, b] и диференцируема в (a, b).   Следовательно, по теореме Ролля, в интервале (a, b) найдется такая точка x₀, что

F'(x₀) = 0,

т.е.

f ' (x₀) - k = 0

или

1. 

2.   Отсюда имеем

3. f(b) - f(a) = (b - a)f ' (x₀),

4. что и требовалось доказать.   Так как a + (b - a) = b, то величина a + (b - a), где Q - правильная положительная дробь (0 <  < 1), равна какому-то числу в интервале (a, b), поэтому формулу Лагранжа можно записать в виде

5. f(b) - f(a) = (b - a)f ' [a + (b - a)]

6.   Если положить a = x, b = x + x, откуда b - a = x, то формула Лагранжа запишется в виде

7. y = f(x + x) - f(x) = xf ' (x + x).

8.   Ранее было доказано, что если функция равна постоянной C при любом значении x в интервале (a, b), то ее производная равна нулю.   Докажем теперь обратную теорему, являющуюся следствием теоремы Лагранжа:   Если произвоодная f ' (x) обращается в нуль для любых значений x в интервале (a, b), то в этом интервале f(x) = C.   В самом деле, если x₁ и x₂ - два любых значения в интервале (a, b), то в силу теоремы Лагранжа, имеем

9. f(x₂) - f(x₁) = (x₂ - x₁)f'(x₀),

10. где, x₁ < x₀ < x₂. Но так как f'(x₀) = 0, то

11. f(x₂) - f(x₁) = 0,

12. что и доказывает нашу теорему.    Отсюда непосредственно вытекает важная теорема:    Если две функции f₁ (x) и f₂ (x) имеют одну и ту же производную в интервале (a, b), то они на данном интервале отличаются друг от друга на постоянную величину.    В самом деле, рассмотрим функцию

13. (x) = f₂(x) - f₁(x).

14.    Тогда для любого значения x из интервала (a, b)

15. '(x) = f₂'(x) - f₁'(x) = 0.

16.    Но это означает, что (x) = C и, следовательно

17. f₂(x) - f₁(x) = С.

15.правило лопиталя

Правило Бернулли^[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения ихпроизводных.