2.2. Течение жидкости с трением

Будем рассматривать установившееся течение в трубе постоянного сечения при наличии трения, но без теплообмена с внешней средой.

Уравнение Бернулли в этом случае имеет вид

.

Работа сил трения определяется по выражению

,

где _тр – коэффициент потерь на трение в трубе; d_э – эквивалентный диаметр трубы; dx – длина бесконечно малого участка трубы.

Эквивалентный диаметр рассчитывается по формуле

d_э = 4F/П,

где П – смоченный периметр сечения трубы.

Уравнение неразрывности в этом случае (F = const) имеет следующий вид:

u = const

или в дифференциальной форме

.

Преобразуя приведенные выше уравнения, можно получить для газов следующую формулу:

,

где  – приведенная скорость потока.

Приближенно полагают _тр = const. В этом случае последнее уравнение легко интегрируется:

.

Для несжимаемой жидкости уравнение Бернулли при течении с трением имеет вид

.

Потери давления на трение по длине трубопровода l определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

,

где u_ср – средняя скорость потока по длине l.

Коэффициент трения _тр зависит от режима течения (числа Рейнольдса), относительной шероховатости стенки и формы поперечного сечения трубопровода.

Числа Рейнольдса является безразмерным критерием, характеризующим режим течения

,

где  – кинематическая вязкость жидкости.

При ламинарном режиме течения, т. е. при Re < 2300, коэффициент _тр зависит от числа Рейнольдса и формы поперечного сечения трубы

,

где А – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения трубы (см. приложение 1).

При турбулентном режиме течения, т.е. при Re > 10 000 для технически гладких труб шероховатость поверхности на сопротивление не влияет. В этом случае _тр определяется по формуле Блазиуса

.

Для шероховатых труб может использоваться формула Альтшуля

,

где  – эквивалентная равномерно-зернистая абсолютная шероховатость.

Уравнение количества движения при течении с трением имеет вид

p₁F₁ – p₂F₂ – P_тр = G₁(u₂ – u₁).

ПРИМЕР

По горизонтальному трубопроводу диаметром d = 0,01 м течет вода, имеющая в первом сечении следующие параметры: p₁ = 1,5 МПа, Т₁ = 293 К и u₁ = 10 м/c. Определить давление в сечении, отстоящем на расстоянии 2 м от первого сечения ниже по потоку, если относительная шероховатость поверхности трубы равна 0,003, а плотность воды 998 кг/м³.

Решение

Запишем уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

и уравнение сохранения массы

₁u₁S₁ = ₂u₂S₂.

Поскольку воду можно считать несжимаемой, т.е. ₁ = ₂, площадь трубопровода постоянна (S₁ = S₂), то

u₁ = u₂,

и уравнение Бернулли упрощается

.

Отсюда

.

Для определения коэффициента потерь вычислим число Рейнольдса

.

Кинематическая вязкость воды при Т = 293 К  = 1,0110^-6 м²/с. Тогда

.

Так как режим течения турбулентный (Re > 10 000), то _тр определим по формуле Альтшуля

.

Давление во втором сечении

.

ЗАДАЧИ

Задача 2.2.1. Вентиляционная труба диаметром d = 0,1 м имеет длину l = 100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор и мощность электродвигателя, если расход воздуха, подаваемого по трубе Q = 0,078 м³/с, а кпд вентилятора  = 0,6. Давление окружающей среды 0,1 МПа, температура 20 С. Относительная шероховатость поверхности трубы 0,002. Местных сопротивлений нет. Вязкость воздуха 15,710^-6 м²/с.

Задача 2.2.2. Вода вытекает их верхнего резервуара в нижний через отверстие в дне резервуара (рис. 2.6). Каким способом и во сколько раз можно увеличить расход жидкости, не меняя диаметра отверстия и напора. Размеры Н₁ = 0,5 м, Н₂ = 1,5 м. Местными потерями пренебречь.

Рис. 2.6

З адача 2.2.3. Определить максимально возможную секундную утечку жидкости через зазор между насосным плунжером и цилиндром при давлении p = 25 МПа, если диаметр плунжера равен d = 20 мм (рис. 2.7). Радиальный зазор при соосном расположении плунжера и цилиндра равен  = 0,01 мм, длина зазора l = 30 мм. Вязкость жидкости  = 110^-6 м²/с; плотность  = 800 кг/м³. Рис. 2.7

Задача 2.2.4. Определить расход воды из напорного бака с учетом потерь на трение (рис. 2.8). Трубы технически гладкие. Давление окружающей среды равно 0,1 МПа, давление в баке р_б = 0,15 МПа. Размеры: H = 3 м, l₁ = 2 м, l₂ = 1,5 м, D = 0,04 м, d = 0,03 м.

Рис. 2.8

Задача 2.2.5. Расход воды при температуре 10 С в горизонтальной трубе кольцевого сечения, состоящей из двух концентрических оцинкованных стальных труб (k_э = 0,15 мм) равен 0,075 м³/с. Внутренняя труба имеет наружный диаметр d = 0,075 м, а наружная труба имеет внутренний диаметр D = 0,1 м. Найти потери напора на трение по длине трубы l = 300 м.

Задача 2.2.6. Определить потери давления в магистралях гидропередач, если расходы жидкости Q₁ = 0,0001 м³/с, Q₂ = 0,0002 м³/с, диаметры трубопроводов d₁ = 0,005 м, d₂ = 0,01 м, длины l₁ = 1 м, l₂ = 2 м, плотность жидкости  = 900 кг/м³, кинематическая вязкость  = 6,510^-5 м²/с (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Задача 2.2.7. Определить диаметр нового стального трубопровода длиной 1000 м, который должен пропускать расход воды 0,02 м³/с при потерях давления 0,2 МПа. Температура подаваемой воды 20 С.