2. Установившееся движение идеальной жидкости

2.1. Уравнения сохранения для идеальной жидкости

Основные уравнения сохранения для двух сечений струйки, позволяющие решать простейшие задачи, получают интегрированием уравнений сохранения. Для задач, в которых не учитываются потери в местных сопротивлениях и на преодоление трения, а также отсутствует техническая работа, уравнения сохранения имеют следующий вид:

уравнение неразрывности

;

уравнение энергии

;

уравнение Бернулли

.

При расчете течения газа часто пренебрегают изменением потенциальной энергии g(z₂ – z₁) вследствие ее малости.

В случае, когда плотность жидкости на участке 1-2 меняется незначительно или жидкость считается несжимаемой, интеграл в уравнении Бернулли равен

.

В изобарическом процессе изменения состояния газа интеграл равен нулю:

.

В изотермическом процессе

.

Если состояние газа изменяется по идеальной адиабате, то

.

Уравнение сохранения количества движения при отсутствии трения после интегрирования уравнения (1.4) имеет вид

.

При решении задач часто используется еще одно уравнение – уравнение Менделеева – Клапейрона, связывающее основные термодинамические параметры идеального газа

.

ПРИМЕР

Идеальная сжимаемая жидкость течет по горизонтальной трубе переменного поперечного сечения. В некотором сечении площадью F₁ известны все параметры потока: скорость u₁, давление p₁, плотность ₁. Определить параметры потока в сечении с площадью F₂, считая процесс течения адиабатным.

Решение

В случае адиабатного течения и неизменной потенциальной энергии g(z₂ – z₁) уравнение Бернулли имеет вид

.

Запишем еще уравнение сохранения массы

.

В этих двух уравнениях три неизвестные: u₂, p₂, и ₂, поэтому добавим третье уравнение – уравнение адиабаты:

.

Решая совместно три уравнения, находим параметры во втором сечении.

ЗАДАЧИ

Задача 2.1.1. Вентилятор всасывает атмосферный воздух через кольцевую трубу с внутренним диаметром d = 150 мм и внешним диаметром D = 300 мм (рис. 2.1). Статическое давление воздуха в трубе измеряется с помощью водяного дифференциального манометра, причем разность уровней равна H = 280 мм. Атмосферное давление p₀ = 0,1 МПа, температура воздуха T₀ = 293 K. Определить расход воздуха.

Рис. 2.1

Задача 2.1.2. Камера смешения представляет собой трубу диаметром d. В начальном сечении 1-1 известно распределение скорости и температуры воздуха: в кольцевой части (0,5d₀ < d < d₀) скорость воздуха u₁ = 100 м/с, температура Т₁ = 300 К; в центральной части (d < 0,5d₀) скорость воздуха u₁' = 220 м/с, температура Т₁' = 400 К. Статическое давление р₁ = 0,1 МПа постоянно по сечению. В выходном сечении 2-2 поток выравнивается, т.е. имеет постоянные по сечению значения скорости u₂, температуры T₂ и давления p₂. Определить u₂, T₂ и p₂. Трением пренебречь.

Задача 2.1.3. На трубопровод диаметром 350 мм установлен расходомер типа трубы Вентури с диаметром узкого сечения 225 мм (рис. 2.2). По трубопроводу перекачивается воздух при давлении 105 Па и температуре 370 K. Определить разность давлений, которую покажет заполненный водой U-образный манометр, подключенный к расходомеру, если через трубу проходит 20 кг/с воздуха. Потери не учитывать.

Рис. 2.2

Задача 2.1.4. Определить расход воздуха через карбюратор, при котором начнется подача в диффузор топлива из поплавковой камеры. Уровень топлива в поплавковой камере находится на 3 мм ниже выходного отверстия распылителя. Плотность топлива  = 740 кг/м³, диаметр диффузора d = 25 мм.

Задача 2.1.5. Скорость воздушного потока равна 200 м/с, температура торможения равна 400 К. Определить статическую температуру в потоке.

Задача 2.1.6. Воздух вытекает из камеры через трубопровод с площадью выходного сечения 300 см² (рис. 2.3). Давление в камере равно 0,15 МПа, а температура – 1500 К. Найти реактивную силу. Трением и местными потерями пренебречь.

Рис. 2.3

Задача 2.1.7. Уровень воды в водонапорном баке 1 превышает уровень воды в трубопроводе на величину Н = 2 м (рис. 2.4). Вода течет по трубопроводу диаметром d₁ = 50 мм. На трубопроводе имеется сужение 2 диаметром d₂ = 40 мм, к которому присоединена трубка 3, опущенная в резервуар 4. Уровень воды в резервуаре 4 ниже уровня воды в трубопроводе на величину h = 1 м. Определить направление движения воды в трубке 3. Трением пренебречь.

Рис. 2.4

Задача 2.1.8. Вода вытекает из большого закрытого бака в атмосферу (р₀ = 0,1 МПа) через сопло с выходной площадью 10 см². Высота воды в баке над соплом 12 м. Над уровнем воды в баке давление равно 0,5 МПа. Определить расход воды.

Задача 2.1.9. Жидкость вытекает из трубы с диаметром d, на конце которой укреплена круглая шайба 1 диаметром D (рис. 2.5). На расстоянии H = d/4 от шайбы помещен диск 2 того же диаметра D. Жидкость, выходящая из трубы растекается радиально между двумя плоскостями и затем выходит в атмосферу. Расход и плотность жидкости заданы. Найти закон изменения давления вдоль радиуса диска, считая жидкость идеальной. Принять течение радиальным и безотрывным.

Рис. 2.5

Задача 2.1.10. Трубопровод переменного сечения смонтирован в вертикальной плоскости. В сечении 1-1 диаметр трубопровода равен d₁ = 150 мм, а давление равно р₁ = 0,12 МПа. Сечение 2-2 находится выше сечения 1-1 на 7 м и имеет диаметр d₂ = 250 мм, а давление в нем р₂ = 0,1 МПа. По трубопроводу перекачивается керосин с плотностью  = 830 кг/м³. Определить в каком направлении движется жидкость по трубопроводу при расходе 0,2 м³/с.