4 Расчет методом контурных токов

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К–1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К–1)].

2. Выбирается [n – (К–1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n – (К–1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов I_к1 и I_к2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи I_к1 и I_к2. Затем определяем токи в ветвях: I₁ = I_к1 , I₃ = I_к2 , I₂ = I_к1 – I_к2 .

5 Расчет методом наложения

Метод применяется для расчета цепей, содержащих несколько (два и более) источников электрической энергии. Подчеркнем, что этот метод применим для расчета только линейных цепей. Метод основывается на том положении, что в каждой ветви цепи ток равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником. Следовательно, необходимо определить токи, создаваемые каждым источником в отдельности, а затем их просуммировать с учетом направлений.

Последовательность расчета:

1. В электрической цепи оставляют только один источник ЭДС. Вместо исключенного источника ЭДС ставится или резистор, величина которого равна величине внутреннего сопротивления источника ЭДС, или перемычка, если внутреннее сопротивление источника равно нулю.

2. Определяются токи во всех ветвях, создаваемые этим источником ЭДС.

3. Оставляется в цепи следующий источник ЭДС, а с остальными поступают аналогично тому, как сказано в п. 1.

4. Определяются токи в цепи, создаваемые вторым источником ЭДС.

5. Аналогично поступают с оставшимися источниками.

6. Истинные токи в ветвях цепи определяются как алгебраическая сумма токов в этих ветвях, созданных каждым из источников.

Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 1.18, методом наложения. Будем считать, что внутренние сопротивления источников ЭДС равны нулю.

В начале оставляем источник E₁, а источник E₂ убирается и в место него ставится перемычка (рис. 1.18, б). В полученной схеме находим токи методом эквивалентного преобразования:

Затем оставляем только источник E₂, а вместо E₁ ставится перемычка (рис. 1.18, в). В полученной схеме определяем токи в ветвях также методом эквивалентного преобразования:

Находим действительные токи в исходной схеме (рис. 1.18, а) алгебраическим суммированием найденных токов.

Ток I₁ равен разности тока I₁₁ и тока I₁₂:

I₁ = I₁₁ – I₁₂.

Ток I₂ равен сумме токов I₂₁ и I₂₂, т. к. они совпадают по направлению:

I₂ = I₂₁ + I₂₂.

Ток I₃ равен разности тока I₃₂ и тока I₃₁:

I₃ = I₃₂ – I₃₁.

6 Метод преобразований основан на последовательном упрощении структуры цепи путем сокращения числа ее узлов и контуров.

Простейшие преобразования включают замену последовательно соединенных ветвей с сопротивлениями Rk одной ветвью с эквивалентным сопротивлением Rэ = SRk и параллельных ветвей с проводимостями Gk эквивалентной ветвью с проводимостью Gэ = SGk.

Pис. 4.5

Преобразования звезды (рис. 4.5, а) в эквивалентный треугольник (рис. 4.5, б) и наоборот определяются формулами для сопротивлений

или тождественными формулами для проводимостей

Соотношения для остальных параметров аналогичны приведенным и получаются посредством круговой перестановки индексов 1 – 3.

Последовательное применение преобразований упрощает структуру, и цепь приводится к простейшему виду, содержащему лишь последовательное или параллельное соединение элементов.

При преобразовании ветвей с источниками ЭДС и тока используют взаимные преобразования этих источников (п. 1.3, рис. 1.6), а также перенос идеальных источников ЭДС через узел (п. 3.6, рис. 3.5). Последовательно включенные источники ЭДС ek алгебраически суммируются: eэ = Sek, параллельно включенные источники тока могут быть заменены эквивалентным источником Jэ = SJk. Все перечисленные виды преобразований источников справедливы и для управляемых источников.

При преобразовании цепей с управляемыми источниками иногда целесообразно применять преобразование управляющих величин. Так, если управляющее напряжение и представляет падение напряжения на резисторе с сопротивлением R, то в качестве управляющей величины можно использовать ток резистора i, выражая управляющее напряжение как u = Ri и подставляя эту связь в соотношение для ЭДС или тока управляемого источника. Аналогично можно осуществить обратную замену управляющего тока i, протекающего через резистор с проводимостью G, на управляющее напряжение, используя связь i = Gu, которую подставляют в выражение ЭДС или тока источника.

Однако изменение характера управляющей величины требует более сложных преобразований, если управляющее напряжение определяется как сумма напряжений на различных участках цепи или управляющий ток является током вырожденной ветви с нулевым сопротивлением.