Вопрос 10. Основной закон динамики вращения

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F : М = [rF].

Здесь М – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.

Модуль момента силы

М = Frsinα=Fl (1.47),

где α – угол между r и F; rsin α=l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.

Найдем выражение для работы при вращении тела . Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α – угол между направлением силы и радиус-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: dA=Fsinα r dφ.

Учитывая (1.47), можем записать dA=M_zdφ

где Frsinα=Fl=M_z – момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но ,поэтому , или

Уравнение (1.48) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L =[rр] = [r,mv],

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p=mv – импульс материальной точки (рис. 1.22); L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса L = rpsinα = mvrsin α  = pl,

где α – угол между векторами r и р, l – плечо вектора p относительно точки О.

Вопрос 12. Механические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s = A cos (ω0 + φ),

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω₀ – круговая (циклическая) частота, (φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т. е.

ω0(t+T)+φ =(ω0t +φ)+2π

откуда

Т=2π/ω0.

Величина, обратная периоду колебаний,

ν = 1/T

(1.84)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (1.83) и (1.84), получим

ω0=2πν.

(1.85)

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса. апишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

ds /dt = -Aω0 sin(ω0 t +φ) = Aω0 cos (ω0t +φ+π/2);	(1.86)
d2s / dt2 = -Aω02 cos (ω0 t + φ)= Aω02cos (ω0 t+φ+π ),		(1.87)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (1.86) и (1.87) соответственно равны Аω₀ и Аω₀². Фаза величины (1.86) отличается от фазы величины (1.81) на π/2, а фаза величины (1.87) отличается от фазы величины (1.81) на π. Следовательно, в моменты времени, когда s = 0, ds/dt приобретает наибольшие значения; когда же s достигает отрицательного максимального значения, то d²s /dt² приобретает положительное наибольшее значение (рисунок 1.53).

Из выражения (1.87) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(1.88)

Вопрос 11. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

, откуда L=const

закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Момент силы относительно точки. Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и O_F, на вектор силы :

.