Понятие первообразной и неопределенного интеграла: Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b) если F(x) дифференцируема в любой точке (a;b) и F’(x)=f(x) для любого x € (a;b).Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале (a;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx. ∫f(x)dx=F(x)+c.

Свойства: 1) (∫f(x)dx)’=f(x) 2)∫F’(x)dx=F(x)+c 3)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx 4) ∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫f₂(x)dx 5) если ∫f(x)dx=F(x)+c и u=ϕ(x)- непрерывно дифференцируемая функция на (a;b), то ∫f(u)du=F(u)+c

Таблица неопределенных интегралов: 1)∫x^adx=x^a+1/a+c 2) ∫dx/x=ln|x|+с 3) ∫a^xdx=a^x/ln a +c

4)∫sin(x)dx=-cos(x)+с 5)∫cos(x)=sin(x)+c 6) ∫dx/cos²x=tg(x)+c 7) ∫dx/sin²x=-ctg(x)+c 8)∫dx/(x²+a²)=(1/a)arctg(x/a)+c 9)∫dx/(a²-x²)=(1/2a)ln|(a+x/(a-x)|+c 10)∫dx/ =arcsin(x/a)+c 11)∫dx/ =ln |x+ |+с 12) ∫sh(x)dx= chx+c.

Основные методы вычисления неопределенных интегралов: Метод замены переменной: ∫f(x)dx=|t=ф(x) x=ф^-1(t) dx=(ф^-1)’dt|=f(ф^-1 (t)) (ф^-1)’dt. Интегрирование по частям: пусть ф-ии u(x) и V(x) дифференцируемы на интервале (a;b). Имеет место формула ∫UV’dx=UV-∫U’Vdx или ∫UdV=UV-∫VdU. Имеются 3 группы: 1 группа: например ∫ ln x dx. За U=ln, arcsin x, arctg x…; dV=dx; 2 группа: например ∫(x²-1)cos x dx. за U – (x²-1), за dV – все стальное (cos x dx). 3 группа: ∫e^axsin(bx) dx за U=sin(bx) dV=e^axdx.

Интегрирование рациональной дроби: Определение: Рациональная дробь – выражение вида , где P(X) и Q(x) – алгебраические многочлены соответственно m-го и n-го порядка. Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше чем степень многочлена в знаменателе. (m<n).

Теорема 1: Любой многочлен f(x) ненулевого порядка делится (без остатка) на комплекс ф(x)=x-а тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена f(x). Доказательство: поделим f(x) на ф(x) и запишем результат в виде: f(x)=ф(x)g(x)+r(x)=(x-a)g(x)+r(x). Поскольку ф(x) – многочлен 1 порядка, то r(x) – многочлен 0 порядка, т. е. γ(x)= c. f(x)=(x-a)g(x)+с. Для деления f(x) на ф(x) без остатка необходимо чтобы с=0. Подставим x=a. тогда f(a)=c. т. о. c=0, если а – корень многочлена f(x)=(x-a)g(x).

Теорема 2: Пусть - правильная рациональная дробь и знаменатель этой дроби имеет вид Q(x)=(x-x1)^a1(x-x2)^a2…(x-x_k)^ak(x²-p₁x-q₁)^b1...(x²+p_lx+q_l)^bl тогда эту дробь можно представить в виде следующей алгебраической суммы простых дробей: = . 4 типа интегралов от рац. дробей:1: ∫ dx=Aln|x-x1|2: ∫ dx=A∫(x-x1)^a1d(x-x1)= 3: dx= =| =t dx=dt|=M +(N- ) =(M/2)ln(x²+px+q)+( N- )(1/a)arctg((x+p/2)/a) 4: =| =t dx=dt|= M +(N- ) – рекурсивная формула.

Интегрирование рациональной ф-ии от тригонометрической ф-ии: ∫R(sin x, cos x)dx сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью 3 подстановок: 1- универсальная: t=tg(x/2) ∫R(sin x, cos x)dx= |t=tg(x\2) x=2arctg(t) dx=2dt\(1-t²) sin(x)=2t/(1+t²) cos(x)=(1-t²)/(1+t²)|=… 2 подстановка: выполняется если эта функция является нечётной относительно одного из элементов a) если R(-U,V)=R(U,V) ∫R(sin x, cos x)dx=∫R₁(sin² x, cos x)sin(x)dx=|cos(x)=t –sin(x)dx=dt|=∫R₁(1-t², t)= ∫R₂(t)dt. Если (R(U,-V)=R(U,V), то t=sin(x) 3 подстановка: R(-U,-V)=R(U,V) ∫R(sin x, cos x)dx=∫R₂(sin(x)/cos(x),cos²(x)dx=|t=tgx, dx=dt/(1+t²), cos²(x)=1/(1+t²)|=…

Интегрирование дробно-линейных ирр-ей: ∫R(x,(ax+b/cx+d)^r1…(ax+b/cx+d)^rk), где r1, r2, rk – рациональные числа, т. е. их можно представить: r1=m1/n1; r2=m2/n2, где n1, m1… - целые числа. Пусть n – общий знаменатель m1/n1, m2/n2… тогда эти дроби можно представить в виде r1=p1/n; r2=p2/n..сделаем замену (ax+b/cx+d)^1\n=t ∫R(x,(ax+b/cx+d)^r1…(ax+b/cx+d)^rk)=| (ax+b/cx+d)^1\n=t (ax+b/cx+d)=tⁿ|=∫R((dtⁿ-b/a-ctⁿ), t^p1, t^p2, t^pk) (dtⁿ-b/a-ctⁿ)’dt=∫R₁(t)dt.

Интегрирование рационального бинома: Бином – x^m(a+bxⁿ)^p 1 случай:p-целое x=t^s s – наим. общее кратное дробей m и n. 2 случай: (m+1)/n – целое a+bxⁿ=t^s s – знаменатель p. 3 случай: (m+1)/n+1 – целое

ax^-n+b= t^s s- знаменатель p.

Специальные подстановки:

1)∫R(x, )dx=|x=asint,dx=acos(t)dt, |=∫R(asin(t), )cos(t)dt=∫R₁(sint,cost)dt 2)∫R(x, )=|x=ash(t) dx=ach(t)dt =|a|ch(t)|= …

3) ∫R(x, =|x=acht dx=|a|sh(t)dt =|a|sh(t)|=…

Определенный интеграл. Введём понятие определенного интеграла исходя из классической геометрической задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Пусть функция g=f(x) определена на [a, b]. Определение: Ф-ия f(x) называется интегрируемой на сегменте [a,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой фу-ии при ∆->0.Число I называется определенным интегралом функции f(x).

Интегральные суммы: Определение: Величину I(x_i, ξ _i) определенную выражением будем называть интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному T-разбиению и данному выбору промежуточных точек ξ [x_i-1, x_i]. Введём обозначения ∆=max ∆x_i.

Основные свойства определенного интеграла (6 свойств):

1. Принять, что

2. При b>a выполняется

3. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a, b]. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)·g(x), так же интегрируемы на [a, b]. При этом для алгебраической суммы справедливо равенство:

4. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b]. Тогда и функция C·f(x) (где С - постоянная) интегрируема на [a, b]. Тогда

5. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b]. Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте [c, d], содержащемся в [a, b].

6. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a, c] и [c, b]. Тогда она интегрируема на сегменте [a, b]. При этом справедливо равенство: .

Три оценки определенных интегралов.

1^я. Пусть функция f(x) интегрируема и неотрицательна на сегменте [a, b], т.е. f(x)≥0 при x [a, b]. Тогда

2^я. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и пусть на [a, b]выполняется неравенство: f(x)≥g(x). Тогда Справедливо неравенство:

3^я. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и пусть на [a, b]выполняется неравенство: g(x)≥0. Пусть кроме того числа m, M – точные нижние и верхние грани f(x) на [a, b]. Тогда справедливы следующие неравенства: Доказательство: В соответствии с определением m и M должно выполняться: m≤f(x)≤M на [a, b]. Умножим эти неравенства на g(x).

m g(x)≤f(x) g(x)≤M g(x) --->

Теорема 3(Формулы среднего значения): Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b] и пусть m, M точки нижняя и верхняя грани f(x) на [a, b]. Тогда найдется такое число μ, удовлетворяющее неравенствам: m≤μ≤M, что выполняется следующее соотношение Доказательство: Используем 3 оценку для случая g(x)=1. , . Положим Тогда , m≤μ≤M.

Если f(x) непрерывная на [a, b] функция, то на сегменте [a, b] найдется точка ξ такая, что f(ξ)=μ. Тогда , где ξ [a, b].

Теорема 4: Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и g(x)≥0. Пусть кроме того f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда справедлива формула: , где ξ [a, b].

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте, содержащемся в интервале (a, b). Выберем произвольную точку c (a, b) и точку x (a, b). Тогда имеет смысл функция: . Определение: Функция называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 5: Любая непрерывная на (a, b) функция f(x) имеет первообразную на этом интервале, одной из которых является функция , где x (a, b).

Доказательство: Докажем, что функция дифференцируема. По определению = (пояснения: , где ξ (x, x+∆x).)= . Т.о. функция является первообразной для f(x).

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда функция является первообразной для f(x). Все наборы первообразных это: Ф(x)=F(x)+C= Ф(a)= , b=ф(x), Ф(x)= +ф(a)

Если x=b, то Ф(b)= +ф(a), т.о. Ф(b)-Ф(a)=Ф(x) – формула Н-Л.