2.2.2. Внешние линейные модели поведения слоя пространства

Одним из основных ПЭ OOC является когерентный СП, заключенный между двумя параллельными плоскостями ху и х'у' (рис. 2.2). На практике реальные объекты никогда не являются плоскими. Однако выводы, получаемые при дифракционном анализе СП, имеют общее значение, если рассматриваются поля, распространяющиеся под небольшими углами к оптической оси. Пусть область D_обт (х, у) определяет линейное поле зрения в плоскости объекта и в точке задано распределение комплексной амплитуды поля , т. е. оптический сигнал на входе СП.

Рассмотрим точку Q (х', у') внутри области наблюдения D_нбл, связанную с точкой Р радиус-вектором . Тогда в приближении скалярной теории дифракции [3,11, 12,28] интеграл суперпозиции (1.47), описывающий преобразованный сигнал на выходе СП, принимает вид

(2.13)

где (2.14)

— угол между векторами; — единичный вектор внешней нормали, .

В результате для ВншЛАлгртмМ когерентного СП с учетом ВншЛМП (1.42) и основных положений п. 1.6 получим

(2.15)

где свёрточный оператор поведения когерентного СП имеет вид интегрального дифракционного оператора Кирхгофа (2.13), рассматриваемого в формулировке Релея-Зоммерфельда. При этом выражение (2.13) является обобщением в виде (2.5) для когерентного СП.

Отклик линейного когерентного СП на базисный типовой δ-сигнал является частным случаем (1.45). Его обозначают и называют когерентной функцией рассеяния (КФР) СП толщиной z. Она характеризует долю излучения , которая за счет дифракции в СП попадает из точки P в точку Q. Суммарное поле в точке Q определяется воздействием всех точек Р области D_обт. Дифракционный образ содержит всю оптическую амплитудную и фазовую информацию об объекте, которую можно полностью записать, например голографическим методом (п. 2.8). На стадии восстановления волнового фронта с помощью голограммы формируется изображение, являющееся точной копией объекта . Более того, по дифракционному образу можно не только однозначно восстановить входной сигнал , но при определенных условиях (п. 2.5) он представляет собой классическое геометрооптическое изображение (геометрооптическую копию ),т.е. изображение, формируемое в рамках геометрической оптики. Поэтому распределение комплексной амплитуды поля в произвольной плоскости наблюдения называют обобщенным дифракционным изображением. В частности, является дифракционным изображением точки Р, формируемым СП.

Вывод интеграла суперпозиции (2.13) в случае монохроматической волны в рамках ВнтрМП (1.12) когерентного СП опирается на решение дифференциального уравнения Гельмгольца , где - дифференциальный оператор поведения когерентного СП. При этом замкнутая вспомогательная поверхность Т содержит внутри точку Q и состоит из двух частей Т₁ и Т₂, таких, что плоская поверхность Т₁ совпадающая с плоскостью объекта излучения, замыкается сферой Т₂ достаточно большого радиуса с центром в точке Q. В соответствии с граничными условиями функция ) равна нулю вне области D_обт. Это позволяет вместо интеграла по области D_обт рассматривать интеграл суперпозиции (2.13) с бесконечными пределами.

Переходя к координатной форме записи, дифракционное изображение (2.13) можно представить в виде свертки

(2.16)

где с учётом (2.14) для имеем

Выражение (2.16) подчеркивает пространственно-инвариантные свойства сверточного оператора поведения , т. е. симметрию преобразующих свойств когерентного СП относительно сдвига входного точечного источника. Иначе говоря, взаимная свертка показывает, что дифракционное изображение формируемое СП, представляет собой непрерывную двумерную сумму дифракционных изображений точечных источников δ (х, y) с амплитудой . Тогда с учетом (2.16) пространственно-координатная ВншЛАлгртмМ (2.15) представляет собой частный случай (1.50) в виде пространственно-координатной SvM поведения когерентного СП.

Переход к пространственно-частотной ВншЛАнлтМ когерентного СП в виде (1.54) (2.17)

осуществляется в результате введения на основании (1.53) когерентной передаточной функции (КПФ) СП

, (2.18)

которая совпадает с функцией распространения (1.33) плоской волны. Мультипликативный оператор поведения с учетом (1.52)

(2.19)

позволяет описывать дифракцию волн как процесс фильтрации ПЧС на входе СП, рассматриваемого как ПЧФ [3, 11, 12, 28, 31]. Обратное преобразование Фурье

показывает что значение ПЧС на фиксированных частотах представляет собой комплексную амплитуду плоской волны в разложении входного сигнала по плоским волнам, распространяющимся из плоскости ху в направлении .

Связь пространственных частот с направляющими косинусами позволяет рассматривать (2.19) как описание процесса распространения углового спектра плоских волн в СП, КПФ которого с учетом (2.18) имеет вид

(2.20)

Подставляя (2.20) в (2.19), получим выражение для углового спектра плоских волн на выходе СП

(2.21)

Если направляющие косинусы удовлетворяют условию

, (2.22)

то при распространении волны происходит только относительное изменение фазовых составляющих углового спектра, так как

. (2.23)

Фазовые сдвиги обусловлены тем, что плоские волны, распространяясь под разными углами в СП, проходят разные расстояния, пока достигнут плоскости наблюдения. В том случае, если выполняется условие

, (2.24)

то (2.25)

где - положительное действительное число. Подставляя (2.25) в (2.21) с учётом (2.20) имеем

Откуда видно, что спектральные угловые компоненты, удовлетворяющие (2.24), сильно ослабляются. Физически они представляют собой комплексные амплитуды поверхностных волн, распространяющихся в плоскости ху и затухающих по экспоненте с увеличением расстояния от нее, ибо при (2.25) стремится к нулю.

Из (2.22)-(2.25) на языке пространственных частот получим

;

;

Эти выражения показывают, что СП ведет себя как пропускающий фильтр низких пространственных частот с полосой, равной частоте среза ν_срз. При ν ν_срз модуль КПФ СП постоянен и равен единице, а при ν ν_срз КПФ убывает по экспоненциальному закону. Поэтому все гармоники в плоскости z = 0 с пространственным периодом не пропускаются когерентным СП как ПЧФ, так как быстро затухают с ростом расстояния z. На расстоянии от объекта не содержится никакой информации о пространственных частотах, превышающих 1/ λ. Практически это наблюдается, когда период пространственных гармоник в плоскости z = 0 становится сравнимым с длиной волны.