Пример 4.4
В партии находятся 15 изделий: 10 изделий первого сорта, а 5 – второго. Наудачу одна за другой без возвращения в партию берутся 3 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется второго сорта.
Решение Сначала найдём вероятность противоположного события: все три изделия, извлекаемые без возвращения из партии, оказались первого сорта. Вероятность извлечь первый раз первосортное изделие равна 10/15, второй раз условная вероятность этого события (в предположении, что первосортное изделие уже извлекли, и их стало на единицу меньше, равна 9/14, а третий раз условная вероятность в предположении, что перед этим уже два раза извлекали изделие первого сорта, равна 8/13. В соответствии с теоремой умножения вероятностей:
Вероятность противоположного события (хотя бы одно изделие второго сорта, т.е. либо одно, либо два, либо все три) мы нашли, отняв полученный результат от единицы.
6. Формула Бейеса (Байеса)
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Событие A уже произошло. Требуется вычислить условные вероятности гипотез (при условии, что событие А произошло).
Пример 6.1
Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1?
Решение Событие А – деталь оказалась бракованной. Гипотеза Н1 – деталь изготовлена в 1-м цехе; Р(Н1) = 2/3 Гипотеза Н2 – деталь изготовлена во 2-м цехе; Р(Н2) = 1/3 Условные вероятности события А: PH1(A)=0,05; PH2(A)=0,04 Требуется найти вероятность первой гипотезы в предположении, что событие А уже произошло: PA(H1) - ? Используем формулу вероятности гипотез Бейеса, подставив в знаменатель формулу полной вероятности:
