Пример 7.1

Система, составленная из четырёх блоков, работает исправно, если за рассматриваемый период выйдет из строя не более двух блоков. Найти вероятность безотказной работы системы блоков, если отказы блоков являются независимыми событиями и вероятность отказа каждого блока равна 1/8.

Вероятность того, что за рассматриваемый период ни один из блоков не выйдет из строя:

Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя один блок:

Вероятность того, что за рассматриваемый период выйдет из строя два блока:

Вероятность безотказной работы системы:

4. Теорема сложения и умножения вероятностей

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие D , происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В: D = A + B Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D

Пример 4.1

Пусть А, В, С, D – четыре события пространства Ω исходов эксперимента. Выразите через А, В, С, D следующие события: а) наступают все четыре события; б) наступает хотя бы одно из событий.

Решение а) A∩B∩C∩D = A·B·C·D (пересечение) б) A∪B∪C∪D = A + B + C + D (объединение) Пункт б) можно решить и другим способом, через противоположное событие. Сначала выразим событие «ни одно из событий не наступает»:

Тогда событие «наступает хотя бы одно из событий», которое является противоположным предыдущему, можно выразить так:

Свернуть

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 4.2

Бросается игральная кость (один раз). Найти вероятность того, что выпадет 3 очка или 5 очков.

Решение У кубика 6 граней, вероятность выпадения каждой из граней одинакова и равна 1/6. P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3 Свернуть

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления.

Пример 4.3

В квадрат со стороной а = 30 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность Р того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в r = 3 см от центра квадрата.

Решение Задача интересная в том плане, что здесь также используется понятие геометрической вероятности (см. выше на этой же странице). Считаем, что точка с одинаковой вероятностью может попасть в любую область квадрата. Геометрическая вероятность находится как отношение площадей областей. Вероятность попасть в правую верхнюю четверть квадрата: Р(А) = 1/4.  Вероятность попасть в круг радиусом r = 3:

Вероятность попасть в правую верхнюю четверть круга:

Вероятность попасть хотя бы в одну из этих областей: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Свернуть

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

В частности, для независимых событий

События являются независимыми, если факт появления одного из них не влияет на вероятность появления другого.