[Править] Доказательство [править] Критерий положительной определённости квадратичной формы

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения M_i+1/M_i определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.^[1]

[Править] Критерий отрицательной определённости квадратичной формы

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица A является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица − A является положительно определённой. При замене матрицы A на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.

Условие сходимости итерационного процесса ~ Метод Якоби ~ Метод Зейделя ~ Метод простой итерации

 

Рассматривается система Ax = b. Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду x=Bx+d. Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений и находится последовательность приближений к корню. Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие . Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода.

 

Метод Якоби.

Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное  x₁, из второго уравнения системы выразим  x₂, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

  ,    i, j = 1, 2, ... n.

Компоненты вектора d вычисляются по формулам:

  ,   i = 1, 2, ... n.

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид

,

или в покоординатной форме записи выглядит так:

,  i = 1, 2, ... m.

Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:

,   где    .

Если   , то можно применять более простой критерий

окончания итераций

ПРИМЕР 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.

Метод Зейделя.

Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному  x_i при i >1 используют уже найденные (n+1)-е приближения к неизвестным  x₁, x₂, ..., x_{i - 1}, а не n-ое приближение, как в методе Якоби. Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так:

,

 i = 1, 2, ... m.. Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же как в методе Якоби.

ПРИМЕР 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя.

 

Пусть матрица системы уравнений A - симметричная и положительно определенная. Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается.

Метод простой итерации.

Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду:

x = x - (Ax - b),   - итерационный параметр.

Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид:

x ⁽ⁿ⁺¹⁾ = x ⁿ -   (Ax ⁿ - b).

Здесь B = E -   A  и параметр   > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину   .

Пусть и - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра   . В этом случае   принимает минимальное значение равное .