- •Пример.
- •Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Матричная форма записи квадратичной формы
- •Пример.
- •Метод Лагранжа и метод Гаусса
- •Приведение квадратичных форм к каноническому виду
- •[Править] Доказательство [править] Критерий положительной определённости квадратичной формы
- •[Править] Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
Матричная форма записи квадратичной формы
§
В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание ключевых понятий ТЕОРИИ МАТРИЦ и ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.
Прежде всего, соберем все переменные в один вектор, а вернее — в два вектора:
столбец переменных и строку переменных
здесь означает транспонирование. Не очень принципиально, что обозначать через — столбец или строку; и хотя сокращение кажется не вполне корректным с точки зрения только что введенного обозначения, тем не менее не будем навешивать в правую часть дополнительных значков…
Если определить верхнетреугольную матрицу равенством:
то квадратичную форму можно записать в виде произведения трех матриц
строка переменных матрица столбец переменных
Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы , подбирая разные матрицы
П
Пример.
Из всего этого бесконечного множества представлений выделим одно. Рассмотрим матрицу
которая, очевидно, симметрична: . Тогда
Это представление называют правильной записью квадратичной формы; матрицу называют матрицей квадратичной формы , а — дискриминантом квадратичной формы:
П
Пример. Для приведенной выше квадратичной формы ее правильной записью будет именно последняя:
Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П
Пример. Для имеем:
последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…
§
Причина, по которой из бесконечного многообразия матричных представлений квадратичной формы выделяется именно то, что использует симметричную матрицу, остается пока непонятной. Отложив ненадолго обсуждение этой причины, попробуем переписать в матричных терминах приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, т.е. переход от переменных к новым переменным . Ограничимся только линейными заменами вида
Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты. С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных
которая позволяет переписать саму замену переменных в матричном виде
Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке
(здесь использовались некоторые свойства операции транспонирования ) и, если обозначить матрицу
то мы получаем правило формирования матрицы квадратичной формы, получившейся в результате замены переменных, с помощью операции произведения матриц. Обратим внимание на еще один факт — матрица является симметричной:
т.е. выбор в качестве матричной записи квадратичной формы именно того варианта, что основан на симметричной матрице, позволяет сохранить это свойство при любой линейной замене переменных.
Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу , чтобы матрица оказалась диагональной:
при этом дополнительным условием ставится невырожденность матрицы :
§
Пока не вполне понятна существенность последнего условия: почему оно накладывается? С одной стороны, оно обеспечивает обратимость замены переменных — не происходит «потери информации». В самом деле, наличие какого-то ограничения на все возможные замены переменных, довольно очевидно: если бы разрешалось использовать, например, нулевую матрицу , то канонический вид у любой квадратичной формы был бы нулевым… Ниже мы обсудим геометрический смысл условия .
Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.
П
Пример. Для формы
замена переменных осуществляется формулами
т.е. матрица замены переменных
имеет верхнетреугольный вид. Канонический вид в новых переменных записывается
Для формы
замена переменных уже не имеет треугольного вида:
Для формы
получили:
т.е. замена переменных не имеет треугольного вида. ♦
Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.