Электронная цифровая подпись с использованием открытого ключа

Рассмотрим пример использования ЭЦП в системе обмена данными между базовым абонентом и абонентскими пользователями (например, между управлением и подчиненными структурами компании, командным пунктом и подчиненными структурами или банком и пользователями и т. д.).

Допустим, организационная структура сети состоит базового абонента (управления) и подчиненных абонентов. Для организации обмена данными в этой сети с ЭЦП необходимо сформировать открытые и закрытые ключи.

Порядок формирования ключей

Абонент управления (W) выбирает два произвольных достаточно больших простых числа R и Q, вычисляет их произведение , которое для заданного алфавита должно удовлетворять условию (M – количество используемых знаков алфавита). Далее вычисляется функция Эйлера от этого произведения и выбирается случайное число меньшее вычисленного значения функции Эйлера и взаимно простое с ним .

Аналогичные операции выполняют подчиненные абоненты ( ): выбирают два больших простых числа и , после чего вычисляют их произведение , функцию Эйлера и выбирают случайное число , взаимно простое с функцией Эйлера .

Таким образом, формируются все открытые ключи:

.

;

.

.

П олученные ключи печатаются телефонную книгу, которая доступна каждому пользователю (абоненту). Вид книги показан в табл. 4.

В данной книге – произведение двух простых чисел, известных только абоненту ; S – открытый ключ, доступный каждому; – произведение двух простых чисел, известных только абоненту ; – открытые ключи, доступные каждому.

Далее каждый из абонентов находит свой секретный ключ из сравнений:

Абонент управления находит ключ : .

Подчиненные абоненты находят ключи : .

При этом значения ключей и должны удовлетворять условиям: и .

Таким образом формируется полный комплект открытых и закрытых ключей для всех абонентов (табл. 5).

Таблица 5

Абонент	Открытый ключ	Закрытый ключ
W
w1
w2
w2
...	...	...
wn

Порядок шифрования и дешифрования ЭЦП

Важно отметить, что алгоритм шифрования определяется условием: или . Кроме того, для формирования ЭЦП необходимо выполнение условий: и – т. е. для цифровой подписи необходимо использовать взаимопростые числа с открытым ключом (данное условие выполняется автоматически, если выбранные два простых числа и превышают объем используемого алфавита).

Для примера рассмотрим случай, когда .

Предположим, что некоторый подчиненный абонент решил передать сообщение с ЭЦП абоненту управления . Для этого он вначале шифрует сообщение с помощью своего секретного ключа:

, ,

затем полученное сообщение зашифровывается с помощью открытого ключа абонента управления:

, .

Абонент управления , получив сообщение от абонента , выполняет аутентификацию – расшифровывает сообщение вначале с помощью своего секретного ключа :

, ,

а затем расшифровывает с помощью открытого ключа абонента :

, .

В случае санкционированного шифрования , что подтверждает подлинность абонента, давшего распоряжение.

Доказательство:

Так как

и ,

то , где . На основании данного условия, если, , то по теореме Эйлера , а значит . Но так как и , следовательно, . С учетом вышерассмотренного

, и .

откуда, . Но так как и , следовательно, . В результате, абонент управления получает распоряжение именно от абонента .