Вопрос 16. Двоичная арифметика.

Двоичная арифметика – краткое наименование системы арифметических операций (включающей сложение, вычитание, умножение, деление, иногда некоторые другие операции) над двоичными числами, т.е. целыми числами, представленными в двоичной позиционной системе; собирательное название схемных решений для выполнения арифметических операций над двоичными числами – сумматоров, умножителей, схем вычитания, деления и другие.

В последнее время почти вся техника, связанная с передачей и обработкой информации, стала цифровой. Цифровыми стали аудио и видеомагнитофоны, превратившись в DVD-плейеры и Айподы, телевизоры, фотоаппараты, а многие виды электронно-вычислительной техники и современные мобильные телефоны были цифровыми изначально. Это означает, что информация, циркулирующая в этих устройствах, представляется (или, как говорят, кодируется) в цифровом виде, т.е. как правило, в виде строк (или последовательностей), состоящих из нулей и единиц. Этим строкам можно сопоставить по некоторым правилам целые числа, для чего обычно используется двоичная позиционная система их записи.

Таким образом, с определенной точки зрения, все цифровые устройства генерируют потоки целых чисел, по некоторым правилам их преобразуют, обрабатывают, кодируют, декодируют и т.д., и передают другим цифровым устройствам. Область науки и техники, которая занимается изучением подобных процессов, называется цифровой обработкой сигналов (английская аббревиатура DSP – Digital Signal Processing).

Существенную роль в этом играют алгоритмические процедуры, выполняющие арифметические и логические операции с различными типами числовых данных. Проектированием подобных алгоритмов и устройств, их реализующих, занимается компьютерная арифметика. Ее математической основой является теория сложности так называемых булевых функций (более длинно именуемых функциями алгебры логики).

В большей своей части компьютерная арифметика является двоичной арифметикой. Этому есть две причины. Во-первых, алгоритмы арифметических операций двоичной арифметики (т.е. арифметики, использующей двоичную позиционную систему) очень просты и являются в определенном смысле простейшими среди подобных алгоритмов для всех позиционных числовых систем. Во-вторых, дискретные (не аналоговые) электронные схемы, как самые современные, так и использовавшиеся много лет назад, имеют в определенном смысле двоичную природу и легко описываются на языке алгебры логики. Алгебра логики применяется как для моделирования функционирования этих схем, так и для их проектирования (синтеза).

Вопрос 17. Прямой, обратный, дополнительны код.

Распространёнными формами представления чисел со знаками является их представление в прямом, обратном и дополнительном коде.

Прямой код числа образуется кодированием знака числа нулём, если число положительно и единицей, если число отрицательно (для двоичной системы)

Для общего случая (q - 1) - если число отрицательно, и 0 - если число положительно. q - основание системы счисления.

Код знака записывается перед старшей цифрой числа и отделяется от неё точкой:

-1.01 = 1.101

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают между собой.

Обратный код отрицательного числа образуется из прямого кода, заменой его цифр на их дополнения до величины q-1. Код знака сохраняется без изменения.

Замена цифр их дополнениями для двоичной системы совпадает с операцией инверсии, то есть нули заменяются единицами, единицы - нулями. Знак принимает значение, равное единице.

Дополнительный код отрицательного числа образуется из обратного увеличением на 1 его младшего разряда. При этом перенос из знакового разряда игнорируется.

Правила перевода из прямого кода в обратный и из обратного в прямой, а также из прямого в дополнительный и из дополнительного в прямой совпадают между собой.