1.Билет
Изоморфизм конечномерных линейных пространств
Определение. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам и из соответствуют векторы и из , то вектору соответствует вектор и при любом вектору соответствует вектор .
Теорема. Любые два n-мерных линейных пространства изоморфны.
Теорема на лекции доказана.
Это означает, что все -мерные линейные пространства “устроены” одинаково — как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству .
Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.
2.Билет
Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .
Обозначается
Так как
.
.
.
.
Матрица перехода это
При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису , на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .
Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов в другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.
[править]Пример
Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:
Свойства
Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
3.Билет
Линейное, или векторное пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и .
для любого .
Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
;
для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;
для всяких векторов , вектор также принадлежал .
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
для всяких векторов , вектор также принадлежал для любых .
В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными илинетривиальными.