1. Матрицы и действия с ними

2. Определители n-ого порядка. Методы вычисления.

3. Обратная матрица и методы её нахождения.

4. Критерий существования обратной матрицы

5. Ранг матрицы и методы его нахождения.

6. Теорема о ранге матрицы

7. Теорема о базисном миноре

8. Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.

9. Решение системы линейных уравнений при помощи обратной матрицы

10. Метод Гаусса.

11. Теорема Кронекера-Капелли.

12. Однородные системы. Фундаментальная система решений.

13. Вектор. Линейные операции над векторами и их свойства.

14. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.

15. Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.

16. Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.

17. Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.

18. Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной

19. Смешанное произведение и его свойства. Условие компланарности векторов. Геометрический смысл смешанного произведения

20. Декартова система координат. Перенос начала, поворот. Полярная система координат.

21. Прямая на плоскости. Общее уравнение.

22. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

24. Уравнение прямой проходящей через 2 точки. Уравнение прямой в отрезках.

25. Расстояние от точки до прямой.

26. Расположение прямых на плоскости.

27. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.

28. Расстояние от точки до плоскости.

29. Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.

30. Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки

31. Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой

32. Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду

33. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

34. Расстояние между прямыми в пространстве.

35. Взаимно расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

36. Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.

37. Эллипс

38. Гипербола

39. Парабола

40. Директрисы эллипса и гиперболы.

1. Матрицы и действия с ними

Матрицей называется таблица чисел размером m × n состоящая из n – строк и m – столбцов и записанная в виде

А= A = (a_ij ) i-номер строки j-номер столбца

Если m= n, то матрица А-называется квадратной.

Элементы с индексами a₁₁ a₂₂ a₃₃ … a_kk образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица все элементы которой равны 0, кроме элементов главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица у которой на главной диагонали стоят все 1, называется единичной матрицей

E = – единичная матрица второго порядка

Е= - единичная матрица третьего порядка

О= - нулевая матрица

А = ( -1 4 2 8) – матрица строка ( 1×4)

В = - матрица столбец ( 3×1) 1) Сложение. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

С = А + В , где С_{ij =}A_ij + B_ij

2) Умножение матриц на число k 0

B=k*A= , где b_ij = k * a_ij

Каждый элемент матрицы А нужно умножить на число k.

Если k= -1, то вычитание матрицы А – В = А + (-1)*В

3) Умножение матриц.

Произведение матрицы А на матрицу В называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрица В.

Замечание: умножение матриц возможно если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

А*В В*А – произведения матриц некоммуникативны

4) Транспонирование матриц. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (a_ij)размера  m × n при этом преобразовании станет матрицей размерностью n × m.

А^Т=

2. Определители n-ого порядка. Методы вычисления.

А= = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ - a₃₁a₂₂a₁₃ - a₃₂a₂₃a₁₁ - a₂₁a₁₂a₃₃

Вычисление определителей n-ого порядка:

Минором элемента а_ij называется определитель на порядок ниже данного получающейся из исходного вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнение элемента а_ij называется минор этого элемента взятый со знаком (-1)^i+j

Теорема (разложение определителя по элементам строки или столбца) – определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответсвующее алгебраическое дополнение.

= а_31*(-1)³⁺¹* + а_32*(-1)³⁺²* + а_33*(-1)³⁺³*

Свойства определителей:

1. Значение определителя не меняется при транспонировании

2. Если в определителе поменять строки(столбцы) то его значение изменится на противоположное.

3. Если в определителе есть нулевая строка(столбец), то его значение равно 0.

4. Если в определителе есть две одинаковые строки(столбцы) то его значение равно 0.

5. Если в определителе есть пропорциональные строки(столбцы) то его значение равно 0.

6. Если элементы какой-либо строки(столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

7. Если элементы какой-либо строки(столбца) умножить на число k 0, то значение определителя увеличивается в k раз.

8. Если какой-либо столбец(строка) представляет собой сумму элементов, по этот определитель можно записать в виде: = +

9. Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число и сложить с элементами другой строки (столбца) то значения определителя не изменится.

С помощью элементарных преобразований можно обнулить элементы ниже(выше) главной диагонали. Тогда значение определителя равно произведению элементов главной диагонали.