- •1. Основные понятия
- •2. Динамическое представление сигналов
- •5. Ряды Фурье периодических сигналов
- •7. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры гауссовского сигнала, ф-ции Дирака, Хевисайда
- •12. Свойства автокорреляционной функции.
- •1 3. Функция автокорреляции дискретных сигналов
- •6. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры постоянного напряжения, гармонического сигнала, прямоугольного и ам импульса.
- •15. Амплитудно-модулированный радиосигнал
- •16. Дискретизация узкополосных сигналов
- •17. Сигналы с угловой модуляцией. Чм и фм.
- •18. Сигналы с угловой модуляцией. Чм и фм.
- •19. Принципы построения вч модуляторов
- •14. Виды модуляции. Условие узкополосности
5. Ряды Фурье периодических сигналов
периодический сигнал - для которого справедливо выр-е: x(t)≡x(t-mT) где Т - период
Введём ортонормированный базис: , где .
Из формулы
следует:
это ряд Фурье в комплексной форме.
Воспользовавшись формулой Эйлера ,
запишем тригонометрическую форму этого ряда:
Существует ещё одна форма ряда: если ,
тогда
Д ля анализа спектров используются спектральные диаграммы, показывающие зависимости величин Ak и φk от номера k
примеры вычисления спектров:
1)
график функции rect(t) и график функции x(t):
Вычислим коэффициенты разложения Ck:
где Q=T/ - скважность сигнала (обратная величина α=/T - коэффициент заполнения).
Скважность - важная характеристика сигнала, сигнал, обладающий большой скважностью имеет богатый спектр.
частный случай при Q=2. получается - меандр:
Для такого сигнала тригонометрический ряд Фурье будет иметь вид:
Если математически найти сумму этого ряда, то сигнал не будет точно иметь форму меандра, Он обладает отростками, высота которых составляет 18% от амплитуды сигнала. При практических измерениях эти отростки не фиксируются. Потому что при большом значении k ширина этих отростков не обладает никакой энергией, и прибор не фиксирует эти отклонения формы.
25.
7. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры гауссовского сигнала, ф-ции Дирака, Хевисайда
Пусть сигнал x(t) - одиночный импульс конечной длительности. мысленно представим периодическую последовательность, которая может быть представлена в виде ряда Фурье: , где .
устремим к бесконечности интервал наблюдения T∞. И вернёмся к одиночному импульсу
Р/м базисные функции вида:
, где .
функция (s,t) описывается выражением . Тогда ,
а сигнал представим в виде .
Распишем теперь Ck как скалярное произведение:
Устремим в этом соотношении T∞., тогда d, а дискретная переменная стремится к непрерывной: k. и для x(t) получим:
, (1)
В формуле (1) внутреннее скалярное произведение - прямое преобразование Фурье,
а внешнее – обратное преобразование Фурье. Запишем их в виде системы:
- спектральная плотность сигнала x(t) или интеграл Фурье. краткая форма записи:
;
или .
такое преобразование справедливо только для абсолютно интегрируемых сигналов, т.е. для сигналов, для которых справедливо выражение: .
Спектральная плотность функции Гаусса.
-
это интеграл Пуассона, он справедлив при C<∞.
Рассмотрим такое выражение:
Отсюда следует, что .
выражение для спектральной плотности:
.
С пектральная плотность функции включения .
Спектральная плотность:
. .
8. Соотношение неопределённостей в теории сигналов. Из формулы видно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр.
База сигнала -произведение длительности сигнала на полосу занимаемых им частот: B=∆f u
Б аза сигнала ограничена снизу. Воспользуемся методом моментов: найдём центр тяжести, раскрутим вокруг вертикальной оси и найдём радиус раскрутки. Два радиуса раскрутки дают длительность импульса:
.
Координаты центра тяжести:
.
Совместим начало отсчета с (t0,0) и составим произведение левых и правых частей: Воспользуемся теоремой Рэлея:
.
Извлечём корень и используем нерав-во Шварца:
.
Вычислим скалярное произведение:
Отсюда следует, что:
Таким образом база ограничена снизу числом 2. это и есть соотношение неопределённостей в теории сигналов.
Минимальной базой обладает функция Гаусса:
, где .
на практике такой сигнал неосуществим
9 Дискретизация непрерывных сигналов
Дискретизация - замена последовательности значений некоторым дискретным набором.
теорема о выборке гласит, что непрерывный сигнал x(t) полностью определяется своими отсчётами, взятыми с частотой 2Fm, где Fm - верхняя частота спектра. Вводится
, шаг дискретизации.
т еорема Котельникова: Пусть x(t) - непрерывный сигнал с ограниченным спектром: . Разложим его в обобщённый ряд Фурье:
;
. набор базисных ф-ций
Надо чтобы выполнялась следующая нормировка:
.
для обобщённых рядов Фурье можно получить:
И спользуем условие финитности спектра:
.С учётом финитности , а . Последняя формула напоминает обратное преобразование Фурье. Пусть в диапазоне частот [-m;m] спектральная плотность функции φ постоянна: Sφ=Ф0. В итоге получится:
.
Функция φ(t) с постоянным спектром имеет вид:
Найдём теперь скалярное произведение (φk;φm) :
Нам надо,
. => .
Существует ещё условие ортонормированности:
.
Тогда запишем ряд Котельникова в виде:
(2.17)
Э то и есть теорема Котельникова, позволяющая сформировать непрерывный сигнал по его выборке. Замечательность этой теоремы заключается в том, что сразу ясна структурная схема устройства, возвращающего исходный непрерывный сигнал:
пример использования теоремы Котельникова:
с истема с временным разделением каналов:
10 дискретизацию можно проводить и в частотной области. Для ограниченного по времени сигнала [0;T] можно производить выборку и по частоте. Формула для частотной выборки:
Здесь
26.
11. Корреляционный анализ: Kx(0)=Ex;
Для действительных сигналов АКФ чётная:
;
АКФ всегда ограниченная: ;
АКФ не зависит от сдвига сигналов.
нормировочный коэффициент автокорреляции:
примеры вычисления АКФ:
1).Сигнал :
АКФ элементарно находится графически. При сдвиге сигнала во времени на , то интеграл будет отличен от нуля там, где наблюдается наложение сигналов. Графиком будет треугольник, ширина основания которого в два раза больше и.
2).Сигнал - радиоимпульс:x(t)=A(t)cos(0t+φ)
.
По лемме Римана
поэтому:
для радиоимпульса, огибающая которого равна , АКФ получится с огибающей в форме треугольника.
3). ЛЧМ сигнал с большой базой ∆fи >>1:
; .
.
найдём функцию автокорреляции:
2-й интеграл стремится к нулю как интеграл от быстроосциллирующей функции. Тогда
используем условие ∆u>>1:
Г рафик этой функции на рисунке
4) АКФ пачки импульсов .
с уммируем по диагоналям (j-k)=const.
Это приведёт к более простому виду:
.
перепишем так: