Задание №2. Статистический анализ данных.

Даны результаты эксперимента (файл DATA_3).

1. Найти среднее значение выборки, медиану, моду, стандартное отклонение, максимальное и минимальное значения.

2. Построить гистограмму распределения данных.

Произведем чтение из файла, транспонируем и отсортируем полученные данные.

Таким образом: x₀<x_1, x₁<x_2,...,x_i<x_i+1.

Функции в MathCad:

Среднее арифметическое – это отношение суммы всех данных к их количеству. В MathCad находится при помощи функции mean(А), где А-элементы массива.

Медиана – это значение, при котором площадь под графиком функции делится пополам. Определяется функцией median(А), где А-массив.

Мода – наиболее встречающееся значение среди представленных данных. Определяется функцией mode(А), где А-массив.

Максимальное и минимальное значения найдем при помощи функций max и min.

Стандартное отклонение показывает, насколько широко значения рассеяны от среднего значения. Находится при помощи функции stdev(А), где А-массив.

Гистограмма – инструмент, который позволяет наглядно изобразить и легко выявить структуру и характер изменения полученных данных (оценить распределение), которые трудно заметить при их табличном представлении. Hist(n,y)-функция построения гистограммы массива А.

При нахождении моды выдается ошибка, поскольку все значения повторяются только один раз.

Построение гистограммы:

задача 2

+

Задание№3. Решение дифференциальных уравнений.

Тело движется под действием упругой силы, зависящей только от его координаты. Уравнение описывающее движение тела:

Коэффициент упругости k=2, масса тела m=0,01 кг, начальная координата тела x(0)=0,01м. Необходимо решить данное дифференциальное уравнение, построить график изменения скорости и координаты тела в течении времени 100 с .

В MathCAD для решения дифференциальных уравнений существуют специальные функции и блок Given-Odesolve. Применение блока сводится к заданию дифференциального уравнения, начальных условий и переменной, в которую выводится вектор решения. Определение решения дифференциального уравнения аналитически не всегда является возможным, в связи с тем были разработаны методы приближенного решения.

Нахождение приближенных решений возможно с помощью степенных рядов или с помощью численных методов.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

y´=f(x,y). (1)

Решением этого дифференциального уравнения является функция p(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: p´(x) = f(x,(p(x)). График решения y=p(x) называется интегральной кривой. Например, решением уравнения у' = у является функция p(x)=Ce^x при любом значении произвольной постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

y_x=x0=y₀. (2)

Пару чисел (хо, уо) называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Например, частным решением задачи Коши y´=y, y_x=0=1 является функция p(х) = е^x .

Простейшим численным методом решения задачи Коши (1)-(2) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. Пусть задано дифференциальное уравнение (1) с начальным условием y(x₀)=y₀ (задача Коши). Выбрав достаточно малый шаг h можно определить систему равноотстоящих точек: x_i=x₀+i*h (i=0, 1, 2, …)

Интегральная кривая y=y(x) являющаяся решением, фактически заменяется ломаной линией проходящей через точки M_i(x_i,y_i). Значения y_i могут быть определены по формулам: y_i+1=y_i+Δy_i, Δy_i=h*f(x_i,y_i) (i=0, 1, 2, …)

Метод Эйлера является простейшим численным методом интегрирования дифференциальных уравнений. Недостатки метода Эйлера:

1. Недостаточная точность;

2. Систематическое накопление ошибок.

Метод Рунге-Кута является более точным методом решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим применение данного метода для решения задачи Коши (1). Пусть выбран шаг h, соответственно x_i=x₀+i*h; y_i=y(x_i) (i=0, 1, 2, …). Последовательные значения искомой функции определяется по формуле y_i+1=y_i+Δy_i,

где

В этом уравнении числа k₁, k_2, k₃, k₄ определяются следующим образом:

Погрешность метода Рунге-Кута на каждом шаге есть величина порядка h⁵, исходя из этого, данный метод называют методом Рунге-Кута пятого порядка.

Кроме приведенных методов существуют и другие методы: Адамса, Крылова, Милна, модификации метода Эйлера.

В MathCad для решения дифференциальных уравнений существуют специальные функции и вычислительный блок Given-Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. В данном блоке реализован метод Рунге-Кута с постоянным шагом. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом.

Odesolve(x,b,[step]) -Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given. x –переменная интегрирования, действительное число b –конечная точка отрезка интегрирования step -величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

1. Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.

2. Число заданных начальных условий или граничных условий внутри блока должно

быть равно порядку уравнения.

3. При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные копки с панели Math или ` (штрих) – [Ctrl + F7], для знака равенства = – [Ctrl + =] (в том числе и для дополнительных условий).

4. Конечная точка должна быть больше начальной.

5. Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа f `(a) + f(a) = 8.

6. Искомая функция в блоке должна быть обязательно с аргументом (f(x)).

Запишем все необходимые данные, решим уравнение, и построим графики функций x(t), x`(t).

задача 3