- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
Опр. Первообразной для функции на интервале называют функцию , дифференцируемую на и удовлетворяющую условию . Отсюда следует, что функция , также является первообразной для функции на , т.к.
Опр. Совокупность первообразных для данной функции на называют неопределенный интеграл и обозначают .
называется подынтегральным выражением, -подынтегральной функцией. По определению . Нахождение первообразной для данной функции на называется интегрированием функции .
Свойства:
Так как имеет ,т.е. то
3.
4.
5.
Таблица неопределенных интегралов
Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
1. Внесение под знак дифференциала
2. Замена переменной
Сделаем подстановку . Причем она определена на , так, что существует обратная функция , определенная на и будем считать, что существует производная на . Тогда Если имеет первообразную , то , таким образом после замены переменной в неопределенном интеграле и нахождение у первообразной необходимо возвратиться к старой переменной.
Доказательства: Продифференцируем соотношение по x, используя свойство (1) получим:
, что и требовалось доказать.
Пример:
, т.е. на практике чаще приходится делать обратную подстановку
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
Пусть функции определены и дифференцируемы на и пусть подынтегральное выражение может быть представлено в виде:
, тогда
Доказательство: продифференцируем
и проинтегрируем по х.
или
. Отсюда
Существует несколько классов функций, которые могут быть проинтегрированы этим методом:
1. Интегралы, содержащие одну из функций lnx, arcsinx и т. д. Такие интегралы берутся методом интегрирования по частям, причем через U обозначается одна из этих функций(аdV, то что осталось).
2. Интегралы вида ; ;
интегрируются по частям при этом каждый раз в качестве U принимается многочлен.
3. Интегралы вида: , , ,
двукратное применение формулы интегрирование по частям в следствии получаем линейное уравнение относительно исходного интеграла а решая которое и находим искомый интеграл.
Прим.: №1
№2
Существуют и другие типы неопределенных интегралов, которые могут быть вычислены применением формулы интегрирования по частям.
Пример:
Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
Отношение 2х мн-нов и наз. рац. дробью.
– рац. дробь.
m – порядок мн-на
n – порядок мн-на
Если , то рац. дробь наз. неправильной рац. др.
– непр. рац. дробь.
– пр. рац. дробь.
Если же m < n, то рац. дробь – пр. рац. дробь.
Любую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей вида:
. Правильные рациональные
дроби вида I-IV называется простейшими рациональными дробями.
Теорема № 1: Если многочлен Q(x) имеет корень а кратности , т. е. Q(x)=(x-a) , где Q1(a) 0, то правильная рациональная дробь можно представить в виде причем последняя дробь правильная. Доказательство: Запишем тождество определим const А таким образом чтобы многочлен делился на нацело т. е. А было корнем этого многочлена. (по теореме Безу) т. к. Q1(a) 0 и P(a) 0 то А определим однозначно следовательно подстановка выражения P(x)-AQ1(x)=(x-a)+P1(x) в тождество дает: Следствие № 1: К правильной рациональной дроби можно применить последовательно теорему № 1:
Следствие № 2: Если Q1(x) имеет действительные корни, то к правильной рациональной дроби можно применить теорему № 1 и следствие № 1, т. е. если в правильной рациональной дроби многочлен имеет разложение , где не имеет действительных корней. - действительные числа, то разложим на сумму дробей I,II и правильную рациональную дробь . Аналогично теорема имеет место и в том случае когда многочлен имеет комплексно сопряженные корни , т. е. раскладываются на квадратные трехчлены , где .
Теорема № 2: Если многочлен Q(x) имеет комплексно сопряженные корни a+bi кратности , т. е. имеют разложения вида Q(x)=(x2+px+q)Q1(x), где (не имеет действительных корней), а Q1(x) не делится на цело на x2+px+q, то правильная рациональная дробь можно представить в виде причем последняя дробь правильная. Доказательство: Как и при доказательстве теоремы № 1 стартуем с тождества коэффициенты M и N определены однозначно если потребовать чтобы многочлен P(x)-(Mx+N)Q1(x) делился на x2+px+q нацело т. е. по теореме Безу P(x)-(Mx+N)Q1(x)=( x2+px+q)P1(x) и P1(x) на x2+px+q нацело не делится. Подставляя это выражение в тождество получаем . Следствие № 3: К правильные рациональные дроби можно применить теорему № 2 в результате правильная рациональная дробь разложена на сумму дробей вида III, IV и правильная рациональная дробь со знаменателем Q1(x), , если многочлен Q1(x) делится на Q2(x), то к правильной рациональной дроби можно применить теорему № 2 и ее следствие № 3 т. о. Если многочлен Q(x) имеет разложение , то правильную рациональную дробь можно разложить используя теоремы № 1 и № 2 и их следствия на сумму простейших дробей вида I-IV.
(5).