2.Способы задания ф-ции.Понятие сложной ф-ции.Элементарные ф-ции.

Аналитический(формул)

Графический(графиков)

Табличный(табл знач)

у=f(x) – правая часть которая не содержит у назыв явной ф;

у=у(х)- не явная ф-ция

если у=f(u), u=ϕ(x)-ф-ции своих аргументов,то каждому х из D ф-ций ϕ соответсвует у такое,что у=f(u),где u=ϕ(x). Эта ф-ция определяется соотношением у=f(ϕ(x)) назыв сложной ф-цией.

У=f(x) наыв ограниченной на множестве Х , если сущ такое число М>0 что для всех хєХ выполняется неравенство│f(x)│≤M

Основные элементарные ф-ции: , , , ,y=cos x, y=tg x, y=ctgx, y=arcsin x, y=arcos x, y=arctg x, y=arcctg x.

3.Понятие предела ф-ции и его геометрическая интерпритация.

Число b назыв пределом ф-ции у=f(x) при х→а, если для любого положительного числа Ɛ, как бы мало оно не было сущ такое положительное число δ, что при всех х≠а из области определения ф-ции удовлетворяющих неравенству │х-а│<δ, выполняется неравенство │f(x)-b│<Ɛ

Если b есть предел ф-ции f(x) при х→а, то

4.Односторонние пределы.

Число b назыв пределом ф-ции у=f(x) при х→а слева,если каково бы ни было положит число Ɛ, найдётся такое число δ(меньше а), что для всех хє(δ,а) выполняется неравенство │f(x)-b│<Ɛ.

Число b назыв пределом ф-ции у=f(x) при х→а справа, если каково бы ни было положительное число Ɛ, найдётся такое число δ(больше а), что для всех хє(а,δ) выполняется неравенство│f(x)-b│<Ɛ. (слева)

(справа)

5.Основные теоремы о пределах ф-ции.

Т 1. Всякая ф-ция не может иметь более одного предела при х→а.

Т 2. Предел алгебраической суммы двух ф-ций равен алгебраической сумме пределов этих ф-ций, т.е.

Т 3.

Следствие 1 Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2 Предел степени равен степени предела:

Т 4. , если

Т 5. Пусть даны три ф-ции f(x), u(x) и r(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤r(x).Если ф-ции u(x) и r(x) имеют один и тот же предел при х→а(или х→∞), то и ф-ция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если , то .

6.Бесконечно большие ф-ции.Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими ф-циями.

Ф-ция f(х) стремится к бесконечности при х→а, т.е. явл. Бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно не было, можно найти такое δ>0, что для всех знач. х≠а,удовлетворящий усл.│х-а│<δ, имеет место неравенство│f(х)│>М.

Соотношения: Т 1. Если f(х) явл бесконечно большой при х→а то ф-ция явл бесконечно малой, при х→а

T 2. Если f(х) явл. Бесконечно малой при х→а ( или х→∞) и не обращается в ноль, то у= явл. бесконечно большой ф-цией.

7.Бесконечно малые ф-ции. Основные св-ва бесконечно малых ф-ций.Сравнение бесконечно малых.

Ф-ция у=f(x) назыв бесконечно малой при х→а или при х→∞,если или , т.е. бесконечно малая ф-ция – это ф-ция предел которой в данной точке равен нулю.

Т. Если ф-ция y=f(x) представима при х→а в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(х), т.е. f(x)=b+α(x), то

Если ,то f(x)=b+α(x),где α(х) – бесконечно малая при х→а

Св-ва: Т 1. Алгебраическая сумма двух, трёх и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть ф-ция бесконечно малая.

Т 2. Произведение бесконечно малой ф-ции на ограниченную ф-цию f(x) при х→а (или при х→∞) есть бесконечно малая ф-ция.

Сравнение: Пусть при х→а, ф-ция f(x), g(x) явл бесконечно малыми, тогда будем пользоваться след определениями.

1.Если =0, то f(x) назыв бесконечно малой высшего порядка, чем g(x).

2.Если то ф-ция и назыв бесконечно малыми одного порядка.

3.Если , то ф-ции и назыв эквивалентными бесконечно малыми. (или f~g)

Т. Пусть f и g – бесконечно малые ф-ции при х→а. Если и f~ , g~ , то =c, т.е. если отнош двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменяется. Если каждую из бесконечно малых заманить эквивалентной бесконечно малой.

9.Непрерывность ф-ции.Св-ва непрерывных ф-ций

Ф-ция у=f(x) назыв непрерывной в точке , если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей

, т.к.

Если ф-ция у=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а;b), где а<b, то ф-ция непреывна на этом интервале.

Св-ва:Т 1. Пусть ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдётся, одна точка х=с, в каторой ф-ция обращается в ноль f(c)=0, где а<c<b.

Т 2. Пусть ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A, f(b)=B.Тогда для любого числа C, заключается между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка сє , что f(c)=C.

10.Точки разрыва и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность ф-ции, назыв. точками разрыва ф-ции у=f(х)

Точка разрыва ф-ции f(х) назыв. назыв. точкой разрыва первого рода, если сущевств. оба односторонних конечных предела и но они не равны между собой или не равны значения ф-ции в точке , т.е. f( ).

Точка разрыва назыв точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов бесконечности.

11.Определение производной ф-ции.

Производной данной ф-ции у=f(х) в т. назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю, т. е.

Заметим что для одной и той же ф-ции производная в различных точках х может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как ф-цию аргумента х. Эта ф-ция обозначается или .Операция нахождения производной от ф-ции f(x) назыв дифференцирование ф-ции.

Т. Если ф-ция дифферинцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

дифферинцируемости ф-ции следует ее непрерывность . Обратное не всегда верно, т.е. из непрерывн. ф-ции не всегда следует что она дифферинцируема в ней.

12.Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону S=S(t). Скорость движения в данный момент времени назыв предел средней скорости в промежутке от до , когда .

=

Т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени

Быстрота протекания физ., хим. и др процессов выражается с помощью производной.Производная есть скорость изменения ф-ции в точке х.

13.Геометрический смысл производной.

Геометрически представляет угловой коэфициент касательной к графику ф-ции в т.

=tg α

Уравнение касательной к кривой в т. ( ; ) имеет вид: у- = (х- ) или у=f( )+ (x- )

20.Предел и непрерывность ф-ции двух переменных.

Число А назыв пределом ф-ции z=f(x;y), в т.М( ; ) если для любого положительного числа Ɛ >0 существует такое положительное число δ>0 что при │x- │<δ и │y- │<δ выполняется неравенство │f(x;y)-A│<Ɛ.

При этом пишут: А= , f(x;y)→A при х→ , у→

Ф-ция z=f(x;y) назыв непрерывной в т. , если ф-ция f(x;y) определена в этой точке и существует