14.Дифференциал ф-ции. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть ф-ция у=f(x) имеет в точке х производную отличную от нуля:

Тогда на основании теоремы о связи ф-ции, её предела и бесконечно малой ф-ции, можно записать (x)+α, где α→0, т.е. явл бесконечно малой величиной. Умножив последнее неравенство получим

При этом первое слагаемое есть бесконечно малая ф-ция более высокого порядка, чем второе слагаемое α , т.к. =0

Поэтому первое слагаемое назыв главной частью приращения ф-ции

Дифференциалом ф-ции у=f(x) в точке х назыв главной частью её приращения, равная произведению производной ф-ции на приращение аргумента, и обозначается dy или df(x)

dy=

найдём дифференциал ф-ции у=х, т.к. , то dy=dx= . тогда dy= , отсюда

16.Экстремум ф-ции.

Ф-ция в т. имеет max. если знач ф-ции в данной точке больше, чем её знач во всех точках некоторого интервала содержащего т. , т.е. если существует такая окрестность в т. что для всех х≠ из этой окрестности имеет место неравенство f( )>f(x)

Ф-ция имеет min. в т. если существует такая окрестность в т. что для всех х≠ из этой окрестности имеет место неравенство f( )<f(x).

Точки в которых ф-ция достигает max. и min. назыв точками экстремума, а знач ф-ции в этих точках экстремумами ф-ции.

Т 1.(необходимое условие существования экстремума) Если дифференцируемая ф-ция имеет в т. х= экстремум, то её производная в этой точке обращается в нуль =0

Точки из области определения ф-ции при каторых производная ф-ции обращается в ноль или не существует назыв критическими точками.

Т 2. Достаточное условие существования экстремума

Пусть ф-ция непрерывна на некотором интервале содержащем критическую т. и дифференцируема во всех точках этого интервала(кроме быть может самой т. )

Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с «+» на «-», то в т.х= ф-ция имеет max.

Если же при переходе через справа налево производная меняет знак с «-» на «+», то ф-ция в этой точке имеет min.

18.Асимптоты графика ф-ции.

Прямая назыв асимптотой графика ф-ции , если расстояние от переменной т. М графика до этой прямой при удалении т. М в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика ф-ции при своём стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Вертикальной асимптотой графика ф-ции назыв прямая х= если f(x)→∞ хотя бы при одном из условий х→ +0 или х→ -0

Следовательно для отыскания вертикальных асимптот графиков ф-ции нужно найти значеня при которых ф-ция обращается в бесконечность(терпит бесконечный разрыв)

Наклонные асимптоты

Т. Прямая у=kx+b служит наклонной асимптотой при х→∞ для графика ф-ции когда k=

b=

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причём, если хотя бы один из них не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k=0 асимптота у=b назыв горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существует предел.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при х→+∞ или х→-∞ и следовательно график ф-ции может иметь две различные асимптоты при х→+∞ или х→-∞.