15.Возрастание и убывание ф-ции.

Ф-ция назыв возростающей на промежутке (a;b) если большему значению аргумента х из этого промежутка соответствует большее значение ф-ции, т.е. если , то f( )>f( )

Ф-ция назыв убывающей на промежутке (а;b) если большему значению аргумента соответствует меньшее знач ф-ции, т.е. если > , то f( )<f( )

Ф-ция только возрастает или только убывает назыв манатонной на этом промежутке.

Ф-ция назыв постоянной если при изменении аргумента х она принимает одни и те же знач.

Т 1. Достаточное условие возрастания ф-ции. Если ф-ция непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] и её производная положительна на этом отрезке, т.е. >0 a<x<b, то ф-ция возрастает на данном отрезке.

Т 2. Достаточное условие убывания ф-ции. Если производная ф-ции отрицательна на отрезке [a;b], т.е. <0 a<x<b, то ф-ция убывает на отрезке [a;b]

17.Выпуклость и вогнутость графика ф-ции.Точки перегиба.

График ф-ции назыв выпуклым на интервале (а;b) если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График ф-ции назыв вогнутым на промежутке (а;b) если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Т. Пусть дифференцируема на (а;b). Если во всех точках интервала (а;b) вторая производная ф-ции отрицательна, т.е. (x)<0, то график ф-ции на этом интервале выпуклый.

Если же (x)>0, то то график ф-ции вогнутый на этом интервале.

Точка графика непрерывной ф-ции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, назыв точкой перегиба.

Т. Пусть кривая определяется уравнением . Если =0 или не существует и при переходе через значение х= производная меняет знак, то точка графика ф-ции с абсциссой х= есть точка перегиба.

19.Понятие ф-ции двух переменных.

Пусть D некоторое множество точек М(х;у) плоскости.

Если каждой т. М (х;у) из области D по некоторому закону f становится в соответствие вполне определённое число z есть ф-ция двух переменных х и у и пишут z=f(x;y) или z=f(M), где М(х;у)-точка плоскости.

Множество D=D(f) назыв областью определения ф-ции. Множество значений, принимаемых z в области определения, назыв областью определения этой ф-ции, обозначается Е(f).

Геометрически изображение ф-ции двух переменных х, у явл некоторая поверхность в трёхмерном пространстве

Всякая упорядоченная совокупность действительных чисел ( , ,…, ) назыв точкой n-мерного арифметического пространства .

Пусть D- некоторое множество точек пространства .

Если каждой точке М( , ,…, ) из области D по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определённое число z, то говорят, что z есть ф-ция n переменных и пишут z=f( , ,…, ).

22.Экстремум ф-ции двух переменных.

Пусть ф-ция z=f(x;y) определена в некоторой области D содержащей т. ( ; )

т. ( ; ) назыв точкой max z=f(x;y) если существует такая δ-окрестность этой точки, что для любых точек М(х;у) из этой окрестности выполняется неравенство значение ф-ции f( ; )>f(x;y)

т. ( ; ) назыв точкой min ф-ции z=f(x;y) если существует такая δ-окрестность этой точки, что для любых точек М(х;у) из этой окрестности выполняется неравенство

Рассмотрим условия существования экстремума ф-ции

Т 1.(необходимые условия экстремума) Если дифференцируемая ф-ция z=f(x;y) в т. ( ; ) имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны нулю, т.е. ( ; )=0, ( ; )=0

Ф-ция z=f(x;y) может иметь экстремум и в точках где ф-ция непрерывна но частные производные не существуют.

Точки в которых частные производные =0 и =0 назыв стационарными точками ф-ции z=f(x;y)

Т 2.(достаточные условия экстремума) пусть ( ; ) явл стационарной точкой ф-ции z=f(x;y) и в её окрестности существуют непрерывные частные производные второго порядка.

21.Частные производные ф-ции двух переменных.

Пусть задана ф-ция z=f(x;y), т.к. х и у независимые переменные, то одна из них может изменяться, а др сохранять своё значение. Дадим независимой переменной х приращение , тогда z получит приращение z=f(x+ -f(x,y) назыв частным приращением z по х.

Аналогично, если независимой переменной у дадим приращение , оставляя при этом неизменной переменной х, то z получит приращение =f(x,y+ )-f(x,y) назыв частным приращением z по у.

Полное приращение ф-ции z определяется неравенством .

Частной производной по х от ф-ции z назыв предел отношения частного приращения z к приращению при стремлении к 0. Эта производная обозначается одним из следующих символов , , , (x;y).

Т.о. по определении можно записать формулу: = =

Аналогично определяется частная производная от ф-ции z по переменной у

= =

Она обозначается одним из символов , , , (x;y).

Т.о. частная производная ф-ции нескольких переменных определяется как производная ф-ции одной из этих переменных при условии постоянства значении остальных независимых переменных.

Поэтому частные производные от ф-ции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных ф-ции одной переменной.

Предположим, что ф-ция равная z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные = , = .

Эти производные в свою очередь явл ф-ми независимых переменных х и у будем называть и частными производными первого порядка.

Частными производными второго порядка назыв частные производные от частных производных первого порядка.

Для ф-ции z=f(x;y) можно найти 4 частные производные второго порядка которые обозначаются следующим образом:

( )=

( )=

( )=

( )=

и назыв смешанными частными производными.

Т. Если смешанные частные производные , непрерывны в некоторой т. М(х;у), то они равны, т.е. (х;у)= (х;у).