- •Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
- •Раздел 2. Классическое определение вероятности
- •Раздел 3. Условная вероятность. Независимость событий
- •Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Раздел 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Раздел 6. Испытания Бернулли
- •Раздел 7. Теорема Муавра-Лапласа и Пуассона
- •Раздел 8. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины
- •Раздел 9. Основные типы распределений случайных величин
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Раздел 7
- •Раздел 8
- •Раздел 9
Раздел 5
13/30
11/20 , 4/5 , 11/100
1
m/n
67/120
0,52. Короткое решение. Событие А - вынут белый шар. Гипотезы: - вынутый из второй урны шар принадлежал первой урне; - вынутый из второй урны шар принадлежал второй урне.
0,78
0,816
10
11. 20/21
6/7 . Указание: полная сумма событий в данном опыте состоит из четырёх гипотез.
2/3 , 1/2, 1/3
0,41
0,77 , 0,19 , 0,04
0,64 , 0,16 , 0,04
Раздел 6
1. 5/16 , 13/16 , 1/32
27/128
Выиграть 2 встречи из четырёх. Как объяснить это, используя числовые характеристики биномиального распределения?
0,77, 0,02
0,373
0,737
Вероятность того, что при n бросаниях «шестёрка» не выпадет ни разу равна Решая неравенства получим:
а) n ≥ 4 , б) n ≥ 13
0,019
Раздел 7
1. 0,0798 , 0,011 , ≈ 0
2. 0,0532, 0,022
3. 0,052
4. 0,682
0,97
0,972
От 4 до 23. Применить правило «трёх сигм».
0,2385
0,1755 , 0, 0181 , 0,0067 , 0,9933
а) неравенство для нахождения k: 120000 ≤ 1000 ۰ k ,
б) неравенство для нахождения k : 80000 ≥ 1000 ۰ k ,
Раздел 8
б) ,
в) 0,8 , г) 0,2 , 1,36 , 1,17 , 5,85 , любая точка в интервале [1, 0], 1
д)
2. б) , в) 1, г) 1/6 , 5/36 , , , 0 , 0, д)
3. б) ,
в) 1/2, г) 3/2 , 3/4, , любая точка интервала [1, 2], два значения: 1 и 2,
д)
а) , б) 0,25 , в) 0,75
а) , б)
–3 , 160 ,
а) 7/2 , 35/12 , ≈ 1,71 ; б)
Пусть центр круга радиуса R расположен в начале координат. Если (x, y) – координаты брошенной в круг точки, то - длина радиус-вектора точки. При . Поэтому
Плотность распределения ξ равна
Квадратичное неравенство выполняется при любом значении p.
Раздел 9
1. 2, 1,9 , ≈1,38
3,2
0,9938. Использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа.
- любое значение из [1, 11], Dξ = 8,33
6. 2/9 , 1/3 , 22,5
7. 0,136 , 0,152
0,092
0,081, 0,788
0,192, 0,692, 0,023
Да. Применить правило «трёх сигм».
Таблица I. Значение функции
k\ |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
||
0 |
0,90484 |
0,81873 |
0,74082 |
0.67032 |
0,60653 |
||
1 |
0,09048 |
0,16375 |
0,22225 |
0,26813 |
0,30327 |
||
2 |
0,00452 |
0,01638 |
0,03334 |
0,05363 |
0,07582 |
||
3 |
0,00015 |
0,00109 |
0,00333 |
0,00715 |
0,01264 |
||
4 |
|
0,00006 |
0,00025 |
0,00072 |
0,00158 |
||
5 |
|
|
0,00002 |
0,00006 |
0,00016 |
||
6 |
|
|
|
|
0,00001 |
||
k\ |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0.9 |
|||
0 |
0,54881 |
0,49659 |
0,44933 |
0,40657 |
|||
1 |
0,32929 |
0,34761 |
0,35946 |
0,36591 |
|||
2 |
0,09879 |
0,12166 |
0,14379 |
0,16466 |
|||
3 |
0,01976 |
0,02839 |
0,03834 |
0,04940 |
|||
4 |
0,00296 |
0,00497 |
0,00767 |
0,01112 |
|||
5 |
0,00036 |
0,00070 |
0,00123 |
0,00200 |
|||
6 |
0,00004 |
0,00008 |
0,00016 |
0,00030 |
|||
7 |
|
0,00001 |
0,00002 |
0,00004 |
|||
k\ |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
||
0 |
0,36788 |
0,13534 |
0.04979 |
0,01832 |
0,00674 |
||
1 |
0,36788 |
0,27067 |
0,14936 |
0,07326 |
0,03369 |
||
2 |
0,18394 |
0,27067 |
0,22404 |
0,14653 |
0,08422 |
||
3 |
0,06131 |
0,18045 |
0,22404 |
0,19537 |
0,14037 |
||
4 |
0,01533 |
0,09022 |
0,16803 |
0,19537 |
0,17547 |
||
5 |
0,00307 |
0,03609 |
0,10082 |
0,15629 |
0,17547 |
||
6 |
0,00051 |
0,01203 |
0,05041 |
0,10419 |
0,14622 |
||
7 |
0,00007 |
0,00344 |
0,02160 |
0,05954 |
0,10445 |
||
8 |
0,00001 |
0,00086 |
0,00810 |
0,02977 |
0,06528 |
||
9 |
|
0,00019 |
0,00270 |
0,01323 |
0,03627 |
||
10 |
|
0,00004 |
0,00081 |
0,00529 |
0,01813 |
||
11 |
|
0,00001 |
0.00022 |
0,00193 |
0,00824 |
||
12 |
|
|
0,00006 |
0,00064 |
0.00343 |
||
13 |
|
|
0,00001 |
0,00020 |
0,00132 |
||
14 |
|
|
|
0,00006 |
0,00047 |
||
15 |
|
|
|
0,00002 |
0,00016 |
||
16 |
|
|
|
|
0,00005 |
||
17 |
|
|
|
|
0,00001 |
Таблица II. Значение функции
х |
Сотые доли x |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3653 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3271 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2756 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9
|
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1163 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0973 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9
|
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0154 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
2,9
|
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |
Таблица III. Значение функции
х |
Сотые доли х |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,0000 |
0,0040 |
0,0080 |
0,0120 |
0,0160 |
0,0200 |
0,0239 |
0,0279 |
0,0319 |
0,0359 |
0,1 |
398 |
438 |
478 |
517 |
557 |
596 |
636 |
675 |
714 |
753 |
0,2 |
793 |
832 |
871 |
910 |
948 |
987 |
0,1026 |
0,1064 |
0,1103 |
0,1141 |
0,3 |
0,1179 |
0,1217 |
0,1255 |
0,1293 |
0,1331 |
0,1368 |
406 |
443 |
480 |
517 |
0,4 |
554 |
591 |
628 |
664 |
700 |
736 |
772 |
808 |
844 |
879 |
0,5 |
915 |
950 |
985 |
0,2019 |
0,2054 |
0,2088 |
0,2123 |
0,2157 |
0,2190 |
0,2224 |
0,6 |
0,2257 |
0,2291 |
0,2324 |
357 |
389 |
422 |
454 |
486 |
517 |
549 |
0,7 |
580 |
611 |
642 |
673 |
703 |
734 |
764 |
794 |
823 |
852 |
0,8 |
881 |
910 |
939 |
967 |
995 |
0,3023 |
0,3051 |
0,3078 |
0,3106 |
0,3133 |
0,9 |
0,3159 |
0,3186 |
0,3212 |
0,3238 |
0,3264 |
289 |
315 |
340 |
365 |
389 |
1,0 |
413 |
437 |
461 |
485 |
508 |
531 |
554 |
577 |
599 |
621 |
1,1 |
643 |
665 |
686 |
708 |
729 |
749 |
770 |
790 |
810 |
830 |
1,2 |
849 |
869 |
888 |
907 |
925 |
944 |
962 |
980 |
997 |
0,4015 |
1,3 |
0,4032 |
0,4049 |
0,4066 |
0,4082 |
0,4099 |
0,4115 |
0,4131 |
0,4147 |
0,4162 |
0,4177 |
1,4 |
192 |
207 |
222 |
236 |
251 |
265 |
279 |
292 |
306 |
319 |
1,5 |
332 |
345 |
357 |
370 |
382 |
394 |
406 |
418 |
429 |
441 |
1,6 |
457 |
463 |
474 |
484 |
495 |
505 |
515 |
525 |
535 |
545 |
1,7 |
554 |
564 |
573 |
582 |
591 |
599 |
608 |
616 |
625 |
633 |
1,8 |
641 |
649 |
656 |
664 |
671 |
678 |
6X6 |
693 |
699 |
706 |
1,9 |
713 |
719 |
726 |
732 |
738 |
744 |
750 |
756 |
761 |
767 |
2,0 |
772 |
778 |
783 |
788 |
793 |
798 |
803 |
808 |
812 |
817 |
2,1 |
821 |
826 |
830 |
834 |
838 |
842 |
846 |
850 |
854 |
857 |
2,2 |
861 |
864 |
868 |
871 |
875 |
878 |
881 |
884 |
887 |
890 |
2,3 |
893 |
896 |
898 |
901 |
904 |
906 |
909 |
911 |
913 |
916 |
2,4 |
918 |
920 |
922 |
925 |
927 |
929 |
931 |
932 |
934 |
936 |
2,5 |
938 |
940 |
941 |
943 |
945 |
946 |
948 |
949 |
951 |
952 |
2,6 |
953 |
955 |
956 |
957 |
959 |
960 |
961 |
962 |
963 |
964 |
2,7 |
965 |
966 |
967 |
968 |
969 |
970 |
971 |
972 |
973 |
974 |
2,8 |
974 |
975 |
976 |
977 |
977 |
978 |
979 |
979 |
980 |
981 |
2,9 |
981 |
982 |
982 |
983 |
984 |
984 |
985 |
985 |
985 |
986 |
3,0 |
987 |
987 |
987 |
988 |
988 |
989 |
989 |
989 |
990 |
990 |