5.1.4. Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rⁿ на  и действующий следующим образом:  .

Определение. Произведением оператора A на число   называется оператор, определенный в Rⁿ на  и действующий следующим образом: 

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, а матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число.

Рассмотрим множество линейных операторов, действующих в линейном пространстве L_n с определенными для операторов операциями сложения и умножения на число. Нетрудно убедиться в том, что это множество является линейным пространством.

Как показано выше, каждому линейному оператору, действующему в линейном пространстве L_n, отвечает единственная квадратная матрица порядка n.

С другой стороны. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n и некоторое линейное пространство L_n с определенным базисом в нем. Тогда матрица однозначно определяет некоторый линейный оператор: столбцы матрицы являются координатами образов базисных векторов.

Таким образом, доказан изоморфизм линейного пространства линейных операторов, действующих в конечномерном линейном пространстве и линейного пространства квадратных матриц соответствующего порядка.

2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах: M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе. M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе. Т - матрица перехода от старого базиса к новому базису.

29)

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

     Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

     Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

30)

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.