- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Площадь треугольника
- •Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
- •Простейшие свойства
- •Связанные определения и свойства Подпространство
- •Свойства подпространств
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Конечномерный случай
- •Бесконечномерный случай
- •5.1.4. Действия с линейными операторами
- •Канонический вид
Необходимые условия существования локальных экстремумов
Из леммы Ферма вытекает следующее:
Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .
Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии и
является точкой локального максимума. А если и
то является точкой локального минимума.
13)
Пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n горизонтальных и в n вертикальных рядах. С помощью этих чисел по определённым правилам вычисляют некоторое число, которое называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:
(1)
Горизонтальные ряды в определителе (1) называют строками, вертикальные – столбцами, числа - элементами определителя (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.
Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы
называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.
Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых – произведение n его элементов, взятых только по одному из каждой n строк и из каждого n столбцов квадратной таблицы чисел, причём половина (определённых) членов берётся с их знаками, а остальные – с противоположными.
Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.
Определитель первого порядка – это сам элемент т.е. .
Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом: (2) где
- элементы определителя, а и
- его члены.
Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся член, являющийся произведением элементов главной диагонали, а с противоположным – член, представляющий собой произведение элементов противоположной диагонали.
14)
(15.1)
(15.2)
(15.3)
(14.13)
Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула
Теорема 15.1 (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле
где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что
Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.
15)
Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула
где -- алгебраические дополнения к элементам .
Доказательство. Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :
Если , то сумма справа равна нулю, то есть при .
Если , то
Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке. Таким образом,
Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .
16)
Определение : Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφa,b.
Свойства скалярного произведения:
1. коммутативность: (a,b)=(b,a)
2. (а,а)=|а|2
3. (a,b)=0 <=> a b
4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)
5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.
Утверждение : В декартовом базисе если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.
Определение : Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что
| [a,b] |=Sa,b, где Sa,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то Sa,b=0.)
a [a,b] b.
a, b, [a,b] – правая тройка.
Свойства векторного произведения:
[a,b] = -[b,a]
[a,b] = θ ó a || b
[a1+a2,b] = [a1,b]+[a2,b]
λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.
Утверждение : В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}
=> [a,b] = =
Определение : Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).
Утверждение : <a,b,c>=Va,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -Va,b,c, если a,b,c – левая тройка. Здесь Va,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то Va,b,c=0.)
Утверждение : В декартовой системе координат, если a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2},
с={x3, y3, z3}, => <a,b,c>= .
17)
векторы и всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны соотношением
Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
18)
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .
Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
19)