- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Площадь треугольника
- •Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
- •Простейшие свойства
- •Связанные определения и свойства Подпространство
- •Свойства подпространств
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Конечномерный случай
- •Бесконечномерный случай
- •5.1.4. Действия с линейными операторами
- •Канонический вид
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и .
для любого .
Связанные определения и свойства Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
;
для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;
для всяких векторов , вектор также принадлежал .
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
для всяких векторов , вектор также принадлежал для любых .
В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.
Свойства подпространств
Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов: .
Линейная оболочка
Линейная оболочка
подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .
Линейная оболочка
состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из .
В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом
и тем самым определяет его размерность.
26)
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.