- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
оно дополняется нач условием
-известные функции l – длина стержня T – верхние граница временного промежутка - искомое решение температура в точке x стержне в момент времени t
1) создадим сетку [0,l] :n [0,t]:m tj=jτ,
Неявная схема.
Произвольные внутренние точки мы заменим следующим образом
количество уравнение вида (7) равно количеству внутренних узловых точек m(n-1) преобразуем уравнение, введем в рассмотрение Шаблон
Уравнение (9) содержит 3 значения искомого решение из j-го слоя, поэтому нельзя явно выразить искомое решение через известное значение. Для нахождения искомого решения на j слоя необходимо решить систему уравнений поэтому Даная схема называется не явной схемой
Краевые условия (2),(3),(4) заменим соответствующим дискретными аналогоми. В эти условия производные не входят поэтому они не заменяются точно через значения функции в результате получаем полную систему уравнений для произвольного слоя, с помощью условий (12) (13) запишем уравнение (10) в близи левой границы и правой границы i=1
Тогда в ур-ие (10)
Для произвольного j-го слоя системы (16)
Система Ур-ий с 3х диагональной матрицей эффективно решается методом прогонки.
1+2r, >0
Найдем сумму модулей недиагональных элементов:
1+2r>r+r;
1+2r>2r для любых r (17)
Матрица системы имеет диагональное преобладание при любом r. Поэтому матрица системы (16) яв-ся невырожденной, т.е. определитель не равен 0. Это означает, что система (16) однозначна разрешима при любом r. (одно решение). Таким образом имеет место своство:
Неявная схема всегда устойчива и имеет единственное решение при любом r. Это свойство позволяет проводить вычисления на крупных сетках. В явной схеме , здесь r-произвольно.
Алгоритм реализации неявной схемы.
1) Сначала рассчитаем искомое решение на начальном слое левой и правой границе. С помощью формул (11,12,13).
2) j=1
3) решается система (16) методом прогонки.
4) j=j+1
5)Если , то идти к пункту 3, иначе идти к пункту 6.
6) вывод полученных результатов.
41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
Диф. уравнения часто используется при моделирования технологических процессов различных физических явлений и т.д. Для однозначного определения процесса к этим уравнениям необходимо присоединить дополнительное условие. Математически это связано с тем что при интегрировании диф. уравнения явл-ся константа интегрирования. Для определения этих констант как раз нужны эти дополнительные условия. Дополнительные условия называют краевыми условиями. Краевые условия делятся на начальные и граничные условия. Начальные условие определяют искомое решение в некоторый начальный момент времени. При t=t0
Граничное условие определяют поведение искомого решения на границе области. В свою очередь они могут быть одного из трех видов :
1) Граничное условие первого рода.
Пусть для определенности искомое решение яв-ся функцией от двух переменных U=U(x,y).
Д – внутренняя область.
Г – граница области
Математически граничное условие первого рода записывается в виде , здесь -известная функция. В частности она может быть константой. Другими словами в этом случае известны значения искомого решения на границе области
2. Граничные условия 2 рода
Математически запишется следующим образом
n-нормаль к границе, нормальный вектор
Другими словами на границе области известны значения производного по нормали.
3. Граничное условие III рода.
Математическая запись
В этом случае задана минимальная комбинация значений искомого решения производной по нормали на границе области. -константа. Эти граничные условия представляют собой граничное условие более общего вида .Предыдущее условие 1,2 рода могут быть получены как частные случаи условие 3 рода. Если положим , получим первого рода. получим условие второго рода. В соответствии с существующей классификацией различают следующие краевые задачи.
1 задача с начальными условиями (задача Коши).
Граничное условие полностью отсутствует. Обычно начальное условие присутствует в не стационарных краевых задачах.
2. задача с граничными условиями.
При этом граничное условие могут быть одного из 3х рассматриваемых видов. Например, если рассматривается диф уравнение, то к нему могут быть поставлены различные граничные условия Оператор Лапласа
Если к этому уравнению ставиться граничные условия первого рода, то краевую задачу называют задачей Дирихле - Задача Дирихле. Если известна производная по нормали, то эта задача Неймана. - закон Неймана. Смешанная краевая задача. В такой задаче одновременно присутствуют начальные и граничные условия, то есть эта задача является более общей краевой задачей.