1320_21_22_kr_1_sem
.docКонтрольная работа для студентов заочного отделения,
группы 1320, 1321, 1132.
(2013/2014 уч.год, осенний семестр)
Преподаватель: к.п.н, доцент Т.Г. Макусева
Указания по выполнению контрольной работы.
1. На обложке тетради необходимо написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.
2. Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер.
3. Перед решением каждой задачи выписать полностью условие.
4. Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.
5. Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.
Контрольная работа.
Задача 1. Найти предел функции.
1. а)
, б)
в)
2.
, б)
в)
3.
, б)
в)
4.
, б)
, в)
5.
, б)
, в)
6.
, б)
, в)
7.
,
б)
, в)
8.
,
б)
, в)
9.
, б)
,
в)
10.
б)
в)
11. а)
, б)
в)
12.
, б)
в)
13.
, б)
в)
14.
, б)
, в)
15.
, б)
, в)
16.
, б)
, в)
17.
,
б)
, в)
18.
,
б)
, в)
19.
, б)
,
в)
20.
б)
в)
Задача 2. В задачах 1–20 найти производные функций.
1. а)
; б)
;
в)
.
2. а)
; б)
;
в)
.
3. а)
; б)
;
в)
.
4. а)
; б)
;
в)
.
5. а)
; б)
;
в)
.
6. а)
; б)
;
в)
.
7. а)
; б)
;
в)
.
8. а)
; б)
;
в)
.
9. а)
; б)
;
в)
.
10. а)
; б)
;
в)
.
11. а)
; б)
;
в)
.
12. а)
; б)
;
в)
.
13. а)
; б)
;
в)
.
14. а)
; б)
;
в)
.
15. а)
; б)
;
в)
.
16. а)
; б)
;
в)
.
17. а)
; б)
;
в)
.
18. а)
; б)
;
в)
.
19. а)
; б)
;
в)
.
20. а)
; б)
;
в)
.
21. а)
; б)
;
в)
.
22. а)
; б)
;
в)
.
23. а)
; б)
;
в)
.
24. а)
; б)
;
в)
.
25. а)
; б)
;
в)
.
26. а)
; б)
;
в)
.
27. а)
; б)
;
в)
.
28. а)
; б)
;
в)
.
29. а)
; б)
;
в)
.
30. а)
; б)
;
в)
.
Задача 2. В задачах исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
.
23.
. 24.
. 25.
.
26.
. 27.
. 28.
.
29.
. 30.
.
Задача 4.
Задача 5. Найти частные производные функции двух переменных: а) частные производные первого порядка; б) производные от функции, заданной неявно; в) все частные производные второго порядка.
Задача 6. Выполнить только 1) и 3).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. 1.
Найти
.
Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:
.
Ответ.
.
2. Найти
.
Решение. Функция
при
х=1 не определена («неопределенность
типа
»),
и, следовательно, не является непрерывной
в этой точке. Но при всех других значениях
х
.
Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому
=
=
.
Ответ:
.
3. Найти
Решение. Здесь требуется найти
предел отношения двух бесконечно больших
величин. О таком пределе заранее ничего
определенного сказать нельзя
(«неопределенность типа
»).
Преобразуем функцию под знаком предела,
вынося за скобки х в старшей степени,
и используем свойства бесконечно малых
и бесконечно больших величин. Тогда
имеем:
=
=
=
=
0.
Ответ: 0.
4. Найти
.
Решение. Такого типа примеры решаются
переводом иррациональности из числителя
в знаменатель и, наоборот, из знаменателя
в числитель. Здесь мы имеем предел
разности двух положительных бесконечно
больших величин («неопределенность
типа [–]»).
От этой неопределенности избавимся,
дополнив функцию
до разности квадратов:
=
=
=
.
Следовательно,
=
Ответ: 0.
5. Найти
.
Решение. Так как
(первый замечательный предел), то
.
Следовательно,
=
Ответ:
.
6. Найти
.
Решение. Так как х→,
а не к 0, то применить сразу первый
замечательный предел нельзя. Поэтому
произведем замену переменной: –х
= у, откуда х = –у.
Тогда при х→
у→0, используя то, что
=
=
.
Ответ:
.
7. Найти
.
Решение. Выделим у дроби целую часть:
.
Чтобы использовать второй замечательный
предел
(или
),
обозначим
.
Тогда при х→∞ у→0, причем
.
Т.о.
=
.
Ответ:
.
Задача 2. Найдите производные функций:
а)
; б)
; в)
.
Решение. а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
б)
в) В данном случае
функциональная зависимость задана в
неявном виде. Для нахождения производной
нужно продифференцировать по переменной
х
обе части уравнения, считая при этом у
функцией от х,
а затем полученное уравнение разрешить
относительно
:
Из последнего
уравнения находим
:
Задача
3. Исследовать
функцию
и построить ее график.
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:
-
Найдем область определения функции.
-
Исследуем функцию на непрерывность.
-
Установим, является ли функция четной, нечетной.
-
Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
-
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
-
Найдем асимптоты кривой.
Реализуем указанную схему:
-
Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме
. -
Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах
и
.
В точке
функция терпит разрыв второго рода. -
Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств
(тогда
– четная функция) или
(для нечетной функции) для любых х
и –х
из области определения функции: