- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Основная идея – замена подынтегральной функции интеполяционный полином Лагранжа.
, при этом узлы берутся равноудаленными
-
xi
x0
x1
…
xn
yi
y0
y1
…
yn
Тогда
Если предположить, что интеграл сходящийся, то в правой част последней формулы можно поменять местами операции интегрирования и суммирования. Сделав это, мы получаем .
Ai – коэффициент Ньютона Котеса
Далее
-квадратурная формула Ньютона – Котесса
Используя теорему об оценки погрешности ИПЛ можно вывести (получить) неравенство для оценки погрешности квадратурной формулы R(f). Рассмотренные ранее формулы трапеции и параболы явл-ся частным случаем КФНК, соответственно при n=1 и n=2.
Частный случай.
n=1
-
xi
x0
x1
yi
y0
y1
x0=a x1=b h=b-a
В этом случае формула (1) принимает вид
малая формула трапеций.
n=2
-
xi
x0
x1
x2
yi
y0
y1
y2
31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
Большинство дифференциальных уравнений, возникающих на практике точно решить не удается, для их решения применяют приближенные или численные етоды.
Приближенный метод позволяет найти решение задачи в виде некоторой функции от x . Используя полученную ф-ю при необходимости можно определить числовые значения искомого решения.
Численный метод позволяет найти решение задачи в виде совокупности числовых значений искомого решения в заранее определенных узловых точках.
Преимуществом числовых численных методов яв-ся то, что они легко программируются, поэтому находят большее применение на рпактике.
Пусть дана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения I порядка:
Теорема о существовании и единственности решения задачи.
Если ф-я f(x,y) непрерывная по обеим переменным, то существует ограниченная частная производная в рассматриваемой области то решение задачи (1)-(2) существует и яв-ся единственным.
Рассмотрим численные методы решения этой задачи.
Метод Эйлера
Допустим, что интегральная кривая известна. Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi.
, проведем прямые x=xi, которые заключены между интегральной кривой и осью абсцисс на участке [x0;x1]интегральная кривая, приближенно заменяется касательной к кривой, проведенной через точку A0. На остальных участках [x1;x2], [x2;x3], и т.д. интегральная кривая приближенно заменятся прямой, параллельной касательной.
1способ. Напишем Ур-е касательной к интегральной кривой в точке A0.
Найдем ординату точки A1, для этого вместо x поставим x1: . Используя исходное уравнение и начальное условие, последнее можем переписать (координата точки А1).
На остальных участках рассуждение почти аналогичны.
….
Если отрезок [a;b] большой, то полученное решение может сильно отличаться от точного решения.
Погрешности метода.
Запишем расположение фун-ии y(x) в ряд Тейлора
Опр. Говорят, что ф-ия яв-ся величиной . , если существует константа С такая, что
В разложении (5) отбросим вс слагаемые, содержащие h2,h3, и т.д.
Обозначим x=xi, x+h=xi+1, используя исходное ур-е (7) перепишм
Сравним (4) и (8), заключаем, что на произвольном элементарном участке погрешность формулы (4) составляет величину O(h2). Определим погрешность на всем отрезке [a;b] nO(h2), из определения следует, что O(h2) – линейная, т.е.
На всем отрезке [a;b] погрешность пропорциональна h.
Метод Эйлера имеет самый низки порядок точности по h. Метод Эйлера яв-ся грубым, поэтому его обычно применяют для выявления хар-ра интегральной кривой. На практике стараются использовать более точные методы.