- •20. Метод наименьших квадратов(мнк)
- •25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
- •26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
- •27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
- •28. Численное интегрирование. Метод трапеций.
- •29. Численное интегрирование. Метод парабол.
- •30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) 1 порядка. Метод Эйлера.
- •32. Численное решение задачи Коши для оду 1 порядка методом Рунге-Кутта.
- •33. Система оду I порядка. Метод Эйлера.
- •34. Система оду I порядка. Метод Рунге-Кутта.
- •35. Конечно-разностный метод решения дифференциальных ур-ий I порядка. Построение конечно-разностной схемы.
- •36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального ур-я II порядка. Построение конечно- разностной схемы.
- •37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно – разностная схема.
- •38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.
- •41. Краевая задача для диф. Ур-ий частных производных
25. Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.
На практике часто возникает следующая задача: необходимо найти производные указанных порядков от таблично заданной функции.
Постановка задачи
На [a;b] дано разбиение
,
-
xi
x0
x1
…
xn
yi
y0
y1
…
yn
Метод неопределенных коэффициентов.
-
xi
x0
x1
…
xn
yi
y0
y1
…
yn
Решение задачи ищут в виде:
, где ci -? (1)
Здесь k- порядок производной
Предполагается, что равенство (1) вып-ся для каждой из следующих ф-ий
Фун-ии семейства (2) последовательно подставляются в равенство (1). В результате получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов ci.
Решая полученную систему Ур-ий определяют значеня коэффициентов и подставляют в (1).
26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формула Лагранжа.
Полином Лагранжа имеет вид:
Узловые точки берутся равноудаленными, т.е
(18)
Где R(x) – остаточная погрешность относительно R(x). Если ф-я f(x) n-раз непрерывна дифференцируема, а n+1 – производная ограничена, то имеет место:
, где , где C- некоторая средняя точка между [a;b] ,
На практике заменяют
Точная замена дает
Рассмотрим частный случай при n=2
Преобразуем (21) с учетом , что h=const
Если
Если
Выражение для R(x)
Производные в точки
Погрешность этой формулы
27. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
Ставится задача вычисления определения, интегралов:
Определение интеграла можно вычислить, по формуле Ньютона-Лейбница,
,
Однако на практике часто возникают следующие трудности:
1) F(x) первообразная не существует в классе элементарных фун-ий, интеграл не берется.
2) F(x) существует и яв-ся слишком сложной фун-ией и вычисление ее значений вызывает большие трудности.
3) Подынтегральная ф-ия задана лишь таблично, в этом случае теряет смысл вообще само понятие первообразной.
В таких случаях для вычисления определенных интегралов используют методы приближенного вычисления или методы численного интегрирования.
Вычисления однократного интеграла наз-ся механической квадратурой, а соответствующие формулы наз-ют квадратурами. Рассмотрим простейшие квадратурные ф-лы и их обобщения для вычисления.
Метод прямоугольников.
Вычислим определенный интеграл
Пусть положительна и непрерывна
Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху f(x), слева и справа прямыми x=a, x=b и снизу осью абсцисс.
Отрезок [a;b] разобьем на n-равных частей точками xi.
, проведем прямые x=xi. Тем самым мы интеграл разбили на сумму интегралов , - площадь произвольной полосы.
В методе прямоугольников площадь кажой такой полосы приближенно заменяется площадью прямоугольника.
Это малые формулы левосторонних и правосторонних прямоугольников соответственно. Каждое слагаемое в формуле (1) заменим приближенно формулой (2) или формулой (3).
, Таким образом
Это большие формулы левосторон. и правостороннего прямоугольников соответственно.
Введем в рассмотрение величину
Погрешность квадратичной формулы – разность между точным значением интеграла и значением полученные по формуле прямоугольного приближения.
Теорема №1.
Если производная функции существует и ограничена на отрезке [a;b], то
Док-во.
Согласно формуле (6) R(f) – разность эту разность запишем следующим образом: интеграл заменим суммой интегралов (8)
Суммирую по одной и той же переменной в одних границах
,
По условию теоремы функция дифференциально-непрерывная; применяя теорему о среднем
(=) (=), где Ci –некоторая промежуточная точка между xi и xi+1
(=) (=)
Применяем к этой разности теорему о конечном приращении Лагранжа согласно указанной теореме
(=) , где di – некоторая промежуточная точка между xi и Ci
Таким образом
Обратим внимание на расположение точек
Отсюда . Модуль суммы не превышает сумму модулей , т.к. производная ограничена
ч.т.д.
Вывод:
Сравнение методов прямоугольников, трапеций и парабол на основе теоремы 1,2,3 можно сделать следующий простой вывод. Самым грубым яв-ся метод прямоугольников, а самый точный среди рассмотренных – метод парабол.
Квадратурная формула называется точной, если ее R(f)=0.