§7. Предел и непрерывность отображений метрических пространств

Под отображением метрических пространств будем понимать отображение множеств элементов рассматриваемых метрических пространств. В дальнейшем метрическое пространство и множество его элементов будем обозначать одной буквой X или Y, а метрику соответственно _X и _Y.

Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y, т.е. f: с Х Y, точка АY, x₀ – предельная точка D( f ) (D( f ) – область определения отображения f в пространстве Х ).

Определение 7.1 (по Гейне). Точка А называется пределом отображения f в точке х₀, если для любой последовательности (x_n), сходящейся к х_o по метрике _х, с элементами, принадлежащими D( f ) и отличными от х_о, соответствующая последовательность (f(x_n)) сходится к А по метрике _y.

Определение 7.2 (по Коши. Точка А называется пределом отображения f в точке х_о, если для любого положительного числа  существует положительное число  такое, что для всех точек х, принадлежащих D( f ) и удовлетворяющих условию 0<_x(x,x_o) , выполняется неравенство _Y(f(x),A).

Если точка А является пределом отображения f в точке х_о, то пишут

Сформулированные выше определения символично записывают следующим образом.

Определение 7.1*.

 (x_n) |x_n x_o, x_nD( f ), x_n x_o  f(x_n) A.

Определение 7.2*.

(0)( ())( xD( f ) |0< _X(x,x_o))  [ _Y(f(x),A)].

Примеры определения 7.2 в различных метрических пространствах.

7.1. Пространство R²: X = R, Y = R; f: с R R.

 (0)(())(xD(f)0<_X(x,x_o  ) [_Y(f(x),A)].

7.2. Пространство R³: X = R², Y = R, f: с R² R, x=(x₁,x₂), x_o=(x₁^o,x₂^o),xx_o   x₁x₁^o  x₂ x₂^o.

 (0)(())(xD( f )   )  [_Y(f(x),A)].

Теорема 7.1. Определения 1 и 2 равносильны.

С доказательством можно ознакомиться в [1 ,стр.22-23].

Определение 7.3. Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство В (f: с Х Y), точка х_оD( f ). Отображение f называется непрерывным в точке х_о, если

(0)(())( xD(f)| _X(x,x_o)))  [ _Y(f(x), f(x_о))].

Замечание 7.1. В этом определении не требуется, чтобы точка х_о была предельной точкой D( f ). Она может быть как предельной, так и изолированной точкой.

Определение 7.3*. Если точка х_о – предельная точка D( f ), то отображение f непрерывное в точке х_о тогда и только тогда, когда

Если точка х_о – изолированная точка D( f ), то отображение f всегда непрерывно в точке х_о.

Определение 7.4. Отображение f: Х Y называется непрерывным на множестве Х, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Теорема 7.2. Отображение f: Х Y является непрерывным тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз каждого открытого (замкнутого) в В множества является множеством, открытым (замкнутым) в Х. Это значит, что если множество GY – открытое (замкнутое) множество, то множество f ^-1(G) – открытое (замкнутое) в Х.

С доказательством можно ознакомится в [1,cтр.24-25]

Определение 7.5. Отображение f: с Х Y называется равномерно непрерывным на множестве ЕХ, если

(0)()( x₁,х₂Е | _X(x₁,x₂))  [ _Y(f(x₁), f(x₂))].

Замечание 7.2. Если отображение f: Х Y равномерно непрерывное на множестве ЕХ, то оно и непрерывное на Е. Обратное утверждение не имеет места.

Определение 7.6. Метрическое пространство Х называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых открытых (замкнутых) множеств.

Определение 7.7. Множество ЕХ называется связным в метрическом пространства Х, если связным является подпространство Е метрического пространства Х.

Определение 7.7*. Множество ЕХ называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломаной, которая целиком лежит в этом множестве.

Примеры: 1) в пространства R связными являются интервал, отрезок, луч, множество {3};

2) в пространстве R² – круг, кольцо;

3) множество Е = (0,1) [3,4]  R не является связным множеством.

Теорема 7.3. При непрерывном отображении образом связного множества является связное множество.

от противного.

Пусть множество f(X) не является связным в метрическом пространстве Y. Тогда существуют два непустых, непересекающихся между собой, открытых множеств М и N таких, что f(X) = MN.

По теореме 2 в силу непрерывности отображения f прообразы множеств М и N ( f ^-1(M) и f ^-1(N) ) будут открытыми. Очевидно, что они будут также непустыми, непересекающимися между собой множествами, а их объединение есть множество Х. Итак, множество Х есть объединение двух непустых, непересекающихся, открытых множеств, это противоречит связности множества Х. 