- •Предисловие
- •§1. Определение и примеры метрических пространств
- •Примеры метрических пространств
- •§2. Классификация точек и множеств в метрических пространствах
- •§3. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
- •§4. Последовательности точек метрического пространства
- •§5. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых метрических пространствах
- •§6. Полные метрические пространства
- •§7. Предел и непрерывность отображений метрических пространств
- •§8. Непрерывные отображения компактных пространств
- •8.1. Понятие компактных пространств. Необходимые условия компактности множеств
- •8.2 Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства
- •§9. Принцип Банаха сжимающих отображений
- •Основные свойства сжимающих отображений
- •§10. Нормированные пространства
- •10.1.Линейныя пространства
- •10.2. Линейные нормированные пространства
- •Симвалом определено значение функции в точке х, которое называется нормой элемента х.
- •Таким образом, задание нормы на линейном пространстве преобразует его в нормированное пространство.
- •Примеры нормированных пространств
- •§ 11. Предгильбертовые пространства
- •Примеры предгильбертовых пространств
- •§ 12. Линейные операторы
- •12.1. Ограниченность и норма оператора
- •12.2. Непрерывность линейного оператора
- •12.3. Пространство операторов
§6. Полные метрические пространства
Определение 6.1. Последовательность (xn) метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если (0)( N)(n,m > N ) [(xm,xn)].
Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.
В пространстве R любая фундаментальная последовательность сходящаяся. Но не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х, ) сходится в этом пространстве.
Например, в метрическом пространстве Х = (Q; =х в) последовательность xn = (1 + 1/n)n e, если n , но е I и eX.
Определение 6.2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.
Пример 6.1. Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, поскольку любая его фундаментальная последовательность сходится к числу, которое принадлежит пространству R. Это следует из критерия Коши: для того,чтобы числовая последовательность была сходящейся , необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Пример 6.2. Докажем, что пространство Rm - полное метрическое пространство.
Пусть последовательность (xn= (x1(n), x2(n),…, xm(n))) (6.1) – произвольная функциональная последовательность пространства Rm. Покажем, что последовательность сходящаяся и ее предел принадлежит пространству Rm.
По определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространстве Rm
(0)( N())( p,n >N) [(xp,xn)]
Согласно доказательству теоремы 5.1 xk(p) xk(n) . Таким образом, доказана фундаментальность числовых последовательностей (x1(n)), (x2(n)),…, (xm(n)), а отсюда и их сходимость.
Пусть
Рассмотрим точку а = (а1, а2, …, аm). Поскольку а1, а2, …, аm Rm, то а Rm. По теореме о покоординатной сходимости последовательности в пространстве (Х, ) получили, что в метрическом пространстве Rm последовательность (xn) сходится к аRm Это значит, что пространство Rm полное метрическое пространство.
Пример 6.3. Докажем, что метрическое пространство С[a,b] является полным.
Пусть (xn) – произвольная фундаментальная последовательность в метрическом пространстве С[a,b]. Элементы ее непрерывные на [a,b] функции.
Докажем, что последовательность (xn) сходится в метрическом пространстве С[a,b]. Спачатку докажем, что она сходится к предельной функции х(t) на отрезке [a,b].
По определению фундаментальной последовательности
(0)(N())(m,n > N) [(xm,xn)]
xm (t) xn(t)< n,m >N t[a,b] (6.2)
Это значит, что t[a,b] фундаментальной является функциональная последовательность (xn). Поэтому она имеет предел.
Если в неравенстве (6.2) перейти к пределу при m, то . Получим
x (t) xn(t) n>N t[a,b].
Таким образом, мы доказали, что
(0)(N())(n > N t[a,b])[ x (t) xn(t) ].
А это значит, что последовательность (xn) равномерно сходится к функции х(t) на [a,b]. Поскольку все элементы функциональной последовательности (xn) непрерывные на [a,b] функции, то предельная функция х(t) также непрерывна на этом отрезке и поэтому является элементом метрического пространства С[a,b]. По теореме 5.2 в этом пространстве последовательность (xn) сходится к х(t). Это свидетельствует о полноте метрического пространства С[a,b].