- •Предисловие
- •§1. Определение и примеры метрических пространств
- •Примеры метрических пространств
- •§2. Классификация точек и множеств в метрических пространствах
- •§3. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
- •§4. Последовательности точек метрического пространства
- •§5. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых метрических пространствах
- •§6. Полные метрические пространства
- •§7. Предел и непрерывность отображений метрических пространств
- •§8. Непрерывные отображения компактных пространств
- •8.1. Понятие компактных пространств. Необходимые условия компактности множеств
- •8.2 Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства
- •§9. Принцип Банаха сжимающих отображений
- •Основные свойства сжимающих отображений
- •§10. Нормированные пространства
- •10.1.Линейныя пространства
- •10.2. Линейные нормированные пространства
- •Симвалом определено значение функции в точке х, которое называется нормой элемента х.
- •Таким образом, задание нормы на линейном пространстве преобразует его в нормированное пространство.
- •Примеры нормированных пространств
- •§ 11. Предгильбертовые пространства
- •Примеры предгильбертовых пространств
- •§ 12. Линейные операторы
- •12.1. Ограниченность и норма оператора
- •12.2. Непрерывность линейного оператора
- •12.3. Пространство операторов
§3. Теоремы об открытых и замкнутых множествах
Теорема 3.1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.
Пусть Gk , где k N - открытые множества.
Докажем, что - открытое множество.
Выберем любую точку хо G. По определению объединения множеств точка хо принадлежит одному из множеств Gk . Поскольку Gk – открытое множество, то существует - окрестность точки хо, которая целиком лежит в множестве Gk : U( xo, ) Gk U( xo,) G.
Получили, что любаю точка хоG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество.
Теорема 3.2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.
Пусть Gk ( k = 1,2, …,n) – открытые множества.
Докажем, что - открытое множество.
Выберем любую точку хо G. По определению пересечения множеств хо принадлежит каждому из множеств Gk. Поскольку каждое множество Gk открытое, то в любом множестве Gk существует k - окрестность точки хо: U( xo, k) Gk. Множество чисел {1, 2,…, n } конечное, поэтому существует число = min {1,2,…,n}. Тогда - окрестность точки хо находится в каждой k - окрестности точки хо:U( xo, ) U( xo, k) U( xo, ) G.
Получили, что хо – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество.
Замечание 3.1. Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.
Пример 3.1. Пусть в пространстве R Gk = (2 – 1/k; 4+1/k), где k=1,2,…,n,…. G1=(1;5), G2(1,5;4,5), Отрезок [2;4] Gk и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.
Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.
Пусть Fk - замкнутые множества.
Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.
Пусть хо – предельная точка множества F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой - окрестности точки хо находится бесконечно много точек каждого из множеств Fk, а это значит, что хо – предельная точка каждого множества Fk . В силу замкнутости множеств Fk точка
хо Fk k хо F. Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множесто F замкнутое.
Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.
Пусть каждое множество Fk замкнутое.
Докажем, что множество замкнутое, т.е., если хо – предельная точка множества F, то хо F.
Пусть хо – любая предельная точка множества F, тогда в любой - окрестности точки хо существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств Fk конечное, то хо принадлежит хотя бы одному из множеств Fk, т.е. хо – предельная точка для этого множества.
В силу замкнутости Fk точка хо принадлежит Fk , а поэтому и множеству . Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множество F замкнутое.
Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.
Пример 3.2. В пространстве R: Fk =[2+1/k;5–1/k]
F1 = [3;4]; F2 = [2,5;4,5]; …. Интервал (2;5) – открытое множество.
Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: СхЕ=СЕ.
Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.
Пример 3.3. Е= [2,5], CR E = ( ,2)5.
Теорема 3.6. Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.
Пример 3.4. Е= (2,5), CR E = (,2][5.