Симвалом определено значение функции в точке х, которое называется нормой элемента х.

Определение 10.3. Линейное пространство А с нормой на этом пространстве называется нормированным пространством.

Таким образом, задание нормы на линейном пространстве преобразует его в нормированное пространство.

В любом нормированном пространстве А формула

(x,y) = (10.1)

определяет метрику.

Действительно:

1) (x,y) = ;

(x,y) =  x = y;

2) (x,y) = = = = (y,x);

3)(x,y) =

=(x,z) + (z,y).

Метрика , которая введена по формуле (10.1), обладает двумя дополнительными свойствами:

4) (x,y) = (x + z, y + z) ;

5) (x, y) = (x,y) .

Возникает вопрос о возможности введения нормы в линейном метрическом пространстве через метрику. Оказывается, что это возможно не всегда. Но имеет место следующее утверждение:

если в линейном метрическом пространстве А метрика  обладает двумя дополнительными свойствами 4–5, то функция х, является нормой на линейном пространстве А и эта норма порождает первоначальную метрику : = = х,.

Проверим выполнение аксиом нормы:

1) = х,  0, = х, = 0 х = ;

2) =(x, ) =(x, ) =  х, =   ;

3) = х + y, = х, y  х, + y, = 

Примеры нормированных пространств

Пример 10.1. Линейное пространство R^m – нормированое пространство с нормой

(10.2)

Это нормированое пространство называется m-мерным евклидовым пространством.

Если m = 1, то имеем пространство R¹, норма которого = .

Докажем, что функция (10.2) – норма пространства R^m.

Очевидно, что функция (10.2) удовлетворяет аксиомам 1–2. Докажем выполнение аксиомы 3.

Пусть x = (x₁ , x₂,…, x_m), y= (y₁, y₂,…, y_m) произвольные элементы линейного пространства R^m,  = (0, 0, ..., 0) – нулевой элемент и  у = (у₁ ,  у₂,…,  у_m) – элементы пространства R^m. Элементы x, -y,  также являются элементами и метрического пространства R^m . Поэтому в силу неравенства треугольника для этого пространства будем иметь неравенство

х, y  х, + ,y,

т.е.  (по формуле (10.2))

 

Пример 10.2. Линейное пространство l₂ – нормированное пространство с нормой , где числовые последовательности (x_n) = (x₁, x₂, …)  l₂.

Пример 10.3. Линейное пространство C[a,b] – нормированое пространство с нормой функций x(t)

х C [a,b].

Пример 10.4. Линейное пространство C₁ [a,b] – нормированое пространство с нормой функций x(t)

х C₁ [a,b].

Поскольку всякая норма задает метрику, то в нормированном пространстве естественным образом определяются сходимость, непрерывность, полнота и другие понятия, связанные с расстоянием.

Определение 10.3. Полное нормированое пространство называется банаховым пространством.

Банаховыми пространствами, являются пространства, определенные в примерах 10.1 – 10.3. Пространство в примере 10.4 не является банаховым [8].

§ 11. Предгильбертовые пространства

В курсах аналитической геометрии и линейной алгебры вводится важное понятие скалярного произведения векторов, которое позволяет развить многие практические вопросы конечномерной геометрии. Понятие скалярного произведения вводится и в произвольном линейном пространстве.

Пусть А – линейное пространство над полем R.

Определение 11.1. Скалярным произведением на действительном линейном пространстве А называется действительная функция  , , определенная на множестве упорядоченных пар элементов пространства А, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1)  х, х   0, причем  х, х  = 0 только при х = ;

2)  х, у  =  у, х ;

3)  х, у  =  х, у ,   R;

4)  х + z, у  =  х,у  +  z, у   x, y, z A.

Линейное пространство А с введенным на нем скалярным произведением  ,  называется предгильбертовым пространством.

Символом  х, у  обозначается значение функции  ,  в точке ( х,у) , которое называется скалярным произведением элементов х и у.