V 2v r„ 4vJfo V*-1*1)

Обычно достаточно ограничиться первыми тремя членами ряда, аппроксимируя гиперболический годограф квадратичной параболой. При небольших углах ф часто используют приближение

t(x)-t_Q + ——x+-^_I^x ₍₄₄₂₎

Уравнение непродолыюго годографа ОТВ отраженной волны вдоль профиля, параллельного оси у, проходящего на расстоянии х = d от источника S, получим из (4.31): гдеу- расстояние по профилю до пересечения с осью х, - кажущийся угол наклона границы вдоль оси у, определенный в соотношении

• . Непродольный годограф ОТВ отраженной волны также представляет собой гиперболу, симметричную относительно основания перпендикуляра, опущенного из источника на профиль.

• Годографы ОСТ (ОГТ) и ОТО отраженной волны

от плоской границы

Обратимся к годографам общей средней (глубинной) точки, которые находят наибольшее применение в практике современной сейсморазведки. Уравнение поверхностного годографа ОСТ (ОГТ) нетрудно получить из годографа ОТВ (4.31) путем переноса начала координат из источника S в среднюю точку М дистанции SC (рис. 4.7, а). При этом размер дистанции остается прежним, но изменяются координаты ее концов и середины: S(-xl2, -у/2), М(0, 0), С(х/2, у/2). Г одограф ОСТ должен быть определен через эхо-глубину h_M в новом начале координат М.

В общем случае, когда дистанция SC не совпадает с направлением падения границы, точка нормального отражения N смещена на плоскости границы R относительно точки нормального отражения А по координатам х и у пропорционально синусам соответствующих кажущихся углов падения. Превышение эхо-глубины границы в точке М над эхо-глубиной в точке S составляет

(4.44)

где х и у - расстояние по соответствующим осям между источником S и приемником С. Из этого соотношения выразим h_s через h_M, подставим в уравнение (4.31) и после элементарных выкладок получим уравнение поверхностного годографа ОСТ (ОГТ):

V V V

(4.45)

Рис. 4.7. Поверхностный годограф ОСТ (ОГТ) отраженной волны от плоской границы в однородной среде: а - геометрические построения и трехмерный годограф; б - карта изохрон

Здесь параметр г₀ является временем нормального отражения в средней точке М, т. е. в начале координат:

t₀ = t_M=t{x,y)\_x-__y=0 = ^. (4.46)

Формула (4.45) позволяет вычислить время отраженной волны для любой пары точек источник - приемник, расположенных на плоскости наблюдения симметрично относительно точки М, где известна эхо- глубина границы h_м. Как и в случае годографа ОТВ, для расчета поверхностного годографа ОСТ необходимо задать скорость v в покры-

154

вающей среде, угол падения границы \\/ и направление ее падения относительно линии дистанции SC. Последнее задается величиной угла Р, определяющего кажущиеся углы наклона границы по координатным осям хиу согласно соотношениям (4.28) и (4.30).

Поверхностный годограф ОСТ (ОГТ) отраженной монотипной волны от плоской границы в однородной среде является эллиптическим гиперболоидом с вертикальной осью t, проходящей через общую среднюю точку М (рис. 4.7, а). На плоскости G поверхностный годограф ОСТ изображается семейством изохрон в форме концентрических эллипсов, которые постепенно сближаются между собой по мере удаления от своего центра (рис. 4.7, б). Для любой изохроны t большая полуось эллипса а, совпадающая с направлением падения границы, и малая полуось Ь, совпадающая с направлением ее простирания, определяются соотношениями

Действительно, из поверхностного годографа (4.45) легко получить частные уравнения линейных продольных годографов ОСТ по направлениям хиу, совпадающим с направлениями падения и простирания границы соответственно: при р = 0 имеем sincp_v = sinxj/, siiKp^ = 0 и получаем

(4.48)

что эквивалентно соотношениям (4.47) при а = х и b = у.

Поверхностному годографу ОСТ (ОГТ) свойственны следующие важные особенности по сравнению с годографом ОТВ для той же модели среды. Годограф ОСТ:

• всегда, независимо от наклона отражающей границы, имеет минимум в своей общей средней точке - /_min(x, _у) = /₀;

• инвариантен к изменению направления падения границы на противоположное - при замене в формуле (4.45) значений ц>_х и (р_у на -cp_v и -фу величина t(x, у) не изменяется;

• симметричен относительно своего центра по любому направлению, проходящему через него - при замене в формуле (4.45) значений х и у на -х и -у величина t(x, у) не изменяется, в чем проявляется принцип взаимности;

• отображает направление наклона границы конфигурацией своих эллиптических изохрон: линия падения-восстания границы совпадает с большими осями эллипсов, а угол наклона границы определяет отношение малых и больших осей эллипсов.

Рассмотрим линейный продольный годограф ОСТ в общем случае, когда линия профиля L образует с осью х угол а (рис. 4.8, а). Угол между линией падения границы и осью х, как и прежде, обозначаем р. Тогда профиль L составляет с направлением падения угол у

у = а - р. (4.49)

Дистанция I между источником S и приемником С имеет проекции х и у на соответствующие оси координат:

x = l cos a, y = l sin а. (4.50)

а у

Рис. 4.8. Линейный продольный годограф ОСТ (ОГТ) отраженной волны: а - расположение линейного продольного профиля на плоскости наблюдений; б- сейсмические лучи и годограф

Подставляя (4.49) и (4.50) в (4.45) и учитывая (4.28) и (4.30), находим

o+^a-^sin²V|/cos²Y) = |tl +^{1 C}°^S₂ ^ф*-, (4.51)

где sin <p_L = sin y-cos y, cp_L - кажущийся угол падения границы по линии профиля. Введя обозначение

(4.52)

получаем формулу продольного годдитаТВа ОСТ (ОГТ) монотипной волны, отраженной от плоской границы в однородной среде:

_{2 2} . (4.53)

^го^уогт

Годограф ОСТ - гипербола, симметричная относительно средней точки. При фиксированном значении времени t₀ нормального отражения в ней форма (крутизна) годографа определяется единственным параметром v_orr. Он имеет размерность скорости, но существенно отличается от истинной скорости: v_orT является фиктивным скоростным параметром, поскольку зависит от кажущегося угла падения границы вдоль линии наблюдения. Этот угол не превосходит истинного угла падения (cp_L < \j/), поэтому величина фиктивной скорости v_orr находится в пределах

v < v₀rr (4-54)

COS\|/

Если дистанция / невелика по сравнению с глубиной границы И, то гиперболический годограф (4.53) имеет удовлетворительную параболическую аппроксимацию

I²

'^{()afo +} w~~‘ (⁴-⁵⁵>

^z‘o^vorr

При горизонтальной границе v_orT = v и годограф ОСТ не отличается от годографа ОТВ: формулы (4.34) и (4.53) в этом случае идентичны, поскольку I = х.

Лучи, соответствующие годографу ОСТ, действительно отражаются от общей глубинной точки границы только в случае ее горизонтальности. При наклонной границе (cp_L * 0) точка нормального отражения N смещается по горизонтали в сторону восстания относительно средней точки М на расстояние МР = Адг₀ = h_M sin (p_L (рис. 4.8, б). Когда приемник С не совмещен с источником S (/ * 0), точка отражения Е смещается по восстанию вдоль границы R относительно точки нормального отражения N на расстояние NE = Др,:

₌ ^<2sin2V (4.56)

8 h_u

Горизонтальное смещение точки отражения Е относительно средней точки М составляет MF = Ддг, = Ддг₀ + Др, coscp_L . При этом нормаль к отражающей границе в точке Е выходит на профиль х в точке D, которая смещена относительно средней точки М на расстояние MD = Ди,:

(4.57)