• Кажущаяся скорость

Наблюдателю, находящемуся на поверхности G (или линии L), представляется, что фронт волны движется вдоль этой поверхности (или линии) с некоторой скоростью v_K, называемой кажущейся скоростью и определяемой уравнениями (2.4) и (2.6). На поверхности G (рис. 4.3, а) скорость распространения следа волны

dn_G 1 1

^<4П)

где dn_G - элемент нормали к изохроне на поверхности G; т_с - градиент поля времен на поверхности G.

Установим связь между истинной скоростью v в некоторой точке М среды и кажущейся скоростью v_K вдоль поверхности G, проходящей через эту точку. В точке М известны два градиента: пространственный градиент grad t поля времен, совпадающий с направлением луча в точке М, и поверхностный градиент grad_c t поля изохрон на поверхности G, лежащий в плоскости, которая касается поверхности G в точке М. Обозначим через е угол выхода между сейсмическим лучом и поверхностью наблюдений в точке М. На основании известного свойства градиентов - производная в любом направлении равна проекции градиента на это направление - получим

T_G=TCose, (4.12)

откуда, учитывая формулы (4.6) и (4.11), найдем

v v

v_KG= = ^—, (4-13)

cos е sin а

где а - угол падения, составляемый фронтом волны с поверхностью наблюдения или лучом с нормалью к ней. Формула (4.13) равносильна уравнению (2.7) и выражает закон кажущихся скоростей (закон Бенн- дорфа).

При наблюдении на линии L кажущаяся скорость волны вдоль нее ^VKL Р^авна

• V

Vxt= 7 = ^-7, (4-14)

cos е sin а

где а' и е - углы, составляемые лучом и фронтом волны с нормалью к линии наблюдения, соответственно.

Если на поверхности G в точке М кажущаяся скорость равна v_kC, то на линии L, лежащей на этой поверхности, в той же точке кажущаяся скорость v_kL аналогично определяется соотношением

Vk^-^7, (4.15)

cose

где е' - угол между линией наблюдения L и нормалью к изохроне на поверхности G в точке М (рис. 4.3, б).

Угол падения волны на поверхность (линию) наблюдения а(а') по абсолютной величине варьирует в пределах 0-90°, т. е. его синус изменяется в диапазоне 0-1. Поэтому, согласно (4.13) и (4.14), имеем диапазон изменения кажущейся скорости по абсолютной величине:

v < v_K < °°. (4.16)

Как видно, кажущаяся скорость не может быть меньше истинной. Ее нижний предел v_K = v достигается тогда, когда фронт волны движется вдоль поверхности (линии) наблюдения (а = а' = 90°) и скорость, измеренная по этому направлению, естественно, совпадает с истинной скоростью распространения волны. Верхний предел кажущейся скорости v_K = оо достигается тогда, когда фронт волны параллелен поверхности (линии) наблюдения (а = а' = 0°), т. е. одновременно достигает всех ее точек. В таком случае при любой длине базы измерения Ах разность времен прихода волны At на ее краях тождественно равна 0 и расчетная величина кажущейся скорости v_K = AxlAt оказывается бесконечной.

Постоянство кажущейся скорости волны в однородной среде свидетельствует о том, что волну можно считать плоской в пределах базы ее наблюдения.

В отличие от истинной скорости, кажущаяся скорость может иметь отрицательное значение, что связано с выбором направления положительного отсчета расстояний в области наблюдения волны.

• Годографы прямых и отраженных волн [8, 29, 44, 55]

Рассматриваемые здесь вопросы являются основополагающими в теории метода отраженных волн, который играет ведущую роль в разведочной геофизике.

• Прямая волна

Проследим прямую волну от источника S, расположенного в среде со скоростью v на глубине d под горизонтальной плоскостью наблюдений G (рис. 4.4, а). Прямоугольную систему координат (х,у, z) совместим с плоскостью G так, чтобы начало системы совпадало с эпицентром источника S' - его проекцией на поверхность G, а ось z была направлена вниз.

Изохроны прямой волны представляют собой семейство концентрических сфер радиуса г = vt с центром в источнике S, причем лучи совпадают с радиусами. Зависимость времени прихода волны от координат (х, у) точки наблюдения на плоскости G дает уравнение поверхностного годографа прямой волны:

t = -ylx² + y²+d² = —-\l г'² +d² , (4.17)

v v

где г' - расстояние на поверхности G от точки наблюдения до эпицентра S'.

На рис. 4.4, а поверхностный годограф прямой волны изображен в двух видах - как карта изохрон и как объемная фигура. Карта изо- хрон получается сечением поля времен плоскостью G и состоит из концентрических окружностей, расстояние между которыми постепенно уменьшается по мере удаления от эпицентра S'. Объемный годограф Г_с изображен над плоскостью G в системе координат (х, у, /). Из уравнения (4.17) следует, что он имеет форму гиперболоида вращения, минимум которого расположен над эпицентром S'.

Уравнение годографа вдоль прямолинейного профиля L, заданного на плоскости G уравнением у = Ь, имеет вид

t = —-Jx² +b² +d² =-ylx²+d'² , (4.18)

v v ^v ’

где d' = -Jb² + d² - расстояние от источника S до профиля.

Рис. 4.4. Поле времен и годографы ОТВ прямой волны от источника, находящегося: а, б - внутри среды; в, г, д- на поверхности наблюдений . Минимум гиперболы расположен над точкой S", которая является проекцией источника S на линию L.

Кажущиеся скорости v_kC и v_kL на плоскости и линии наблюдения можно вычислить, используя (4.17) и (4.18):

dr	'd'	dx ,	'£
= = vi 1 +		VK£ = —— = v.l 1 +
dt V		L dt \

'к с

Кажущаяся скорость плавно изменяется от v_K = °° в эпицентре (/ = О, х = 0) до v_K = v при неограниченном возрастании расстояния до источника (/ = °о, X = °°).

Когда источник расположен на поверхности наблюдения (d = 0), уравнение (4.17) принимает вид

^{t =} ^yl*^{2 +} y² =~. (4-20)

т. е. поверхностный годограф представляет собой конус (рис. 4.4, в). Линейный продольный годограф (Ь = 0, d = 0) описывается уравнением

t = ±l (4.21)

и состоит из двух ветвей - отрезков прямых, исходящих из начала координат (рис. 4.4, г). Линейный непродольный годограф в этом случае определяется уравнением

t = -^Jx²+b^z (4.22)

v

и представляет собой гиперболу, симметричную относительно точки S" (рис. 4.4, д).