3.5 Применение теоремы о числе переключений

Теорема нашла применение в методе фазового пространства [5, 11].

3.5.1. Понятие фазового пространства

При разработке методов исследования систем управления оказалось очень полезным введение некоторых наглядных понятий и представлений геометрического характера. Для достижения наглядности процесса регулирования применяют изображение этого процесса в фазовом пространстве.

Частным случаем фазового пространства является фазовая плоскость.

Фазовой плоскостью называется плоскость, на которой по двум осям координат (x,y) откладываются какие-либо две переменные, характеризующие поведение системы в переходном процессе. В качестве двух таких переменных величин берут, например, отклонение управляемой величины x и скорость изменения этого отклонения .

Пусть процесс в системе описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

(3.21)

при начальных условиях: , , .

Тогда можно построить на фазовой плоскости траекторию, которая будет характеризовать движение системы. Для этого необходимо заменить уравнение (3.21) двумя уравнениями первого порядка:

(3.22)

Разделив второе уравнение (3.22) на первое получим уравнение в фазовых координатах:

(3.23)

Решение уравнения (3.23) устанавливает зависимость y от x. Если построить эту зависимость на фазовой плоскости, то получим фазовую траекторию, которая будет характеризовать качество управления.

Рис. 3.11. Фазовая траектория y(x).

По заданной траектории можно охарактеризовать качество системы: система является устойчивой и имеет колебательный характер в переходном процессе.

3.5.2. Оптимальное быстродействие в фазовом пространстве

В дифференциальных уравнениях в фазовых координатах не входит явно время. Поэтому отсутствует проблема нахождения моментов переключения управления t₁, t₂,…,t_n-1. Однако здесь возникает другая проблема, связанная с нахождением фазовых траекторий. Решение уравнений в фазовых координатах, даже для объектов третьего порядка, представляет большую трудность, особенно для колебательных объектов. Далее будет дан пример нахождения фазовых траекторий для апериодических объектов третьего порядка.

В тоже время, для некоторых апериодических объектов второго порядка задача оптимального синтеза существенно упрощается.

Пример 3.2. Синтез регуляторов по быстродействию. Дан объект второго прядка с двумя интегрирующими звеньями:

,

где x(t) – управляемая переменная; U(t) – управление; T_U  постоянная интегрирования; k₀ – коэффициент передачи объекта. Пусть: T_U = 1, k₀=1. На управление U(t) наложено ограничение: .

Найти алгоритм оптимального управления, который бы переводил систему из произвольного начального состояния x₁=x₁₀ и x₂=x₂₀ в начало координат за минимальное время Т.

Тогда уравнение объекта:

, (3.24)

Составим матрицу: , вектор: , расширенную матрицу:

Матрица G – невырожденная, поэтому система (3.24) будет нормальной. Характеристические числа матрицы А: , поэтому система (3.24) удовлетворяет условиям теоремы об n –интервалах. Оптимальное управление U(t) будет кусочно-постоянным и иметь не более двух интервалов управления, т.е. не более одного переключения.

Следовательно, управляющая последовательность, в зависимости от начального состояния, будет равна:

[+1], [-1], [+1, -1], [-1, +1].

Принимаем U=±1 и найдем общее решение системы (3.24):

, (3.25)

Пусть при t =0: x₁=x₁₀ , x₂=x₂₀.

Переведем систему (3.24) с учетом начальных условий в фазовые координаты. Для этого исключаем время t из системы (3.25):

; . (3.26)

Построим согласно (3.26) фазовые траектории движения системы (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Фазовые траектории движения системы.

Изобразим буквой ν⁺  множество начальных состояний и найдем кривую, которая переводит объект в начало координат управляющей последовательностью U=+1, а через ν ^  множество начальных состояний, которые переводятся в начало координат управляющей последовательностью U=1. Эти множества, согласно (3.26) описываются уравнениями:

, .

Объединяя эти множества в одно можно записать:

.

Далее, обозначим через R⁺  область расположенную слева от кривой ν и через R^ - область – справа от ν.

Рис. 3.13. Линия переключений управления.

Если начальное состояние принадлежит области R⁺ (x₁₀, x₂₀) R⁺, то оптимальное управление будет U={+1,-1}, причем переключение производится по линии ν ^, если (x₁₀, x₂₀) R^, то оптимальное управление будет U = {-1,+1}, причем переключение управления производится на линии ν⁺. Таким образом, алгоритм управления можно представить:

(3.27)

Линия ν называется линией переключения (рис. 3.13).

Обычно алгоритм оптимального управления (3.27) записывают в виде:

Структурная схема оптимальной системы представлена на рис. 3.14, где .

Рис. 3.14. Структурная схема оптимальной системы.

Пример 3.3. Объект управления описывается уравнением второго порядка (3.11), которое далее представлено в виде двух уравнений (3.12):

. (3.28)

Пусть Т_м =1.

Поделим второе уравнение на первое:

(3.29)

В результате получили дифференциальное уравнение в фазовых координатах x₁ и x₂.

Решение уравнения (3.29):

или

(3.30)

Решение левой части уравнения (3.30):

. (3.31)

Определим линию переключения управления. Примем U = ±1. Тогда управление в фазовых траекториях системы (3.28) с учетом (3.31) и (3.30) будет:

(3.32)

Изобразим фазовые траектории (3.32) отдельно для U=+1 и U=1 (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Фазовые траектории.

Находим уравнения начальных состояний ν⁺ и ν^, которые переводятся в начало координат управляющими последовательностями U={+1} и U={-1}.

Примем в (3.32) х₁₀ = х₂₀ = 0, и U=+1 для ν⁺ и U=1 для ν^, тогда будем иметь:

.

Объединяем ν⁺ и ν^ в одно, и получаем:

.

Оптимальное уравнение можно представить:

,

где R^  область на фазовой плоскости справа от кривой ν, а R⁺  область – слева от кривой ν (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Линия переключений управления.

Обычно алгоритм оптимального управления записывается в виде:

, где

(3.33)

Структурная схема оптимальной системы по быстродействию представлена согласно (3.33) на рисунке 3.17.

Рис. 3.17. Структурная схема оптимальной системы по быстродействию.

3. Принцип максимума Л. С. Понтрягина 44

3.1. Неклассическое вариационное исчисление 44

3.2. Постановка основной задачи принципа максимума 45

3.2.1. Критерий оптимальности по быстродействию 47

3.2.2. Функция управления 47

3.3 Геометрическое обоснование принципа максимума Л.С. Понтрягина 48

3.3.1. Игольчатая вариация 48

3.3.2. Временная вариация 49

3.4 Математическое обоснование принципа максимума 50

Л. С. Понтрягина 50

3.4.1. Задача оптимального управления линейными стационарными объектами 54

3.4.2. Теорема об n – интервалах 56

3.5 Применение теоремы о числе переключений 56

3.5.1. Понятие фазового пространства 56

3.5.2. Оптимальное быстродействие в фазовом пространстве 58

62