3.4 Математическое обоснование принципа максимума л. С. Понтрягина

Из рисунка 3.8 видно, что при оптимальном управлении траектория движения не должна попадать во внутрь конуса. Для выполнения этого условия необходимо найти такую плоскость, которая строго разделяет выпуклый конус и оптимальную траекторию. Чтобы построить такую плоскость необходимо ее представить математически. Для этого плоскость А задают в виде нормали, в качестве которой берут некоторую вспомогательную функцию . Кроме того, в этой же плоскости лежит вектор касательной к траектории .

Скалярное произведение векторов и равно нулю, так как они перпендикулярны. Это произведение обозначают через и называют функцией Гамильтона:

Функция Гамильтона устанавливает связь между , уравнением объекта (3.2) и управлением U(t).

Вспомогательные переменные определяются линейными однородными уравнениями:

(3.8)

Функция Н определяется в следующем виде:

(3.9)

Объединяя (3.8), (3.9) и управление объекта

,

в одну систему, мы получаем известную из механики систему уравнений Гамильтона:

,

В принципе максимума доказывается, что вспомогательная функция всегда меньше или равна нулю:

(3.10)

В первоначальном варианте принцип максимума формировался на основе выражения (3.9) как принцип минимума [5].

Первоначальная формулировка принципа заключалась в следующем: для получения оптимального управления, т.е. для нахождения минимума функционала:

необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций , что при любом t в интервале 0 ≤ t ≤ T функция Гамильтона (3.9) равнялась нулю, т.е.

при .

Однако в таком варианте найти оптимальное управление чрезвычайно сложно из-за того, что не известны начальные условия решения совмещенного дифференциального уравнения (3.8).

Пример 3.1. В качестве объекта примем двигатель постоянного тока. Объект управления описывается уравнением:

, (3.11)

где Т_м – электромеханическая постоянная времени; x – угол поворота вала двигателя; k_д – коэффициент передачи двигателя; U_я – напряжение якорной цепи: .

Уравнение (3.11) записано без учета электромагнитной постоянной времени Т_эм, которой пренебрегли.

Требуется найти алгоритм управления, переводящий объект из начального положения при t=0 в конечное положение за минимальное время. На управляющее воздействие наложено ограничение: .

Запишем функцию Гамильтона (3.9) для нашего случая:

Слагаемое находиться согласно постановке принципа максимума , из условия (3.6); из условия (3.10).

Функции f₁ и f₂ находятся из уравнения объекта (3.11). Для этого запишем (3.11) в виде системы двух уравнений:

, (3.12)

где x₁=x.

Составим гамильтониан с учетом объекта управления (3.12):

.

Составим систему уравнений для сопряженных переменных:

или

. (3.13)

Из первого уравнения системы (3.13) .

Из второго уравнения системы (3.13): , . Тогда

(3.14)

В выражении (3.14) рассматриваем только слагаемое, зависящее от U:

(3.15)

Для того, чтобы гамильтониан имел максимальное значение необходимо в (3.15) подставить U=Umax.

Тогда

Кроме того, необходимо, чтобы Umax меняло свой знак (Sign) столько раз, сколько его меняет функция.

Так как функция при любых значениях С₀ и С₁ не более одного раза меняет знак на отрезке управления, то значение Umax так же будет менять свой знак один раз и иметь два интервала.

Рис. 3.9. Кусочно-постоянная функция управления Umax(t).

Учитывая сказанное, получим алгоритм оптимального управления по быстродействию:

,

где .

После окончания управления в момент времени t=T управление заканчивается U=0.

Алгоритм оптимального управления показывает, что для обеспечения оптимального быстродействия объекта второго порядка (3.11) необходимо сделать одно переключение управляющего воздействия Umax(t) в момент времени t = t₁, что соответствует двум интервалам управления от 0 до t₁ и от t₁ до t₂ = T.

Теперь рассмотрим частный случай.