4.4. Резервирование надёжных элементов.

Для повышения надёжности сложных систем можно применять резервирование, т.е. создавать дублирующие элементы. При выходе из строя одного из элементов дублёр выполняет его функции, и узел не прекращает своей работы. Например, при постоянном (нагруженном) резервировании, когда резервные элементы постоянно присое­динены к основным и находятся в одинаковом с ними режиме работы (рисунок 4.9а), вероятность безотказной работы может быть подсчитана следующим образом:

Рисунок 4.9. - Схема резервирования элемента:

а) нагруженный; б) ненагруженный дублирующий элемент.

Пусть Q₁; Q₂; . . . Q_m – вероятность появления отказа каждого из элементов за время t = T. Тогда отказ системы – это сложное событие, которое будет иметь место при условии отказа всех элементов: веро­ятность совместного появления всех отказов Q(t) составит:

Q(t) = Q₁*Q₂…Q_m = П Q_i

Поэтому безотказность системы с параллельно резервированны­ми элементами составит:

P(t) = 1 – Q(t) = 1 – П Q_i = 1 – П(1 - P_i),

Например, если вероятность безотказной работы каждого элемента Р = 0,9, а m= 3 , то P(t) = 1 - (0,1)³ = 0,999. Т.о. вероятность без отказной работы системы резко повышается и становится возможным создание надёжных систем из ненадёжных элементов.

Возможно также создание ненагруженного резервирования (резервирования замещением), когда резервные цепи находятся в отключенном состоянии и включаются лишь в том случае, если основная цепь (или элемент) отказывает (рисунок 4.9 б). В этом случае для обнаружения отказа необходим специальный прибор, а для включения резерва – соответствующее устройство.

Найдём вероятность безотказной работы Р₂ дублированной сие темы, для схемы 4.9б.

Заметим, что если аппараты неравнонадёжны и вероятность исправной работы основного аппарата равна p₁(t) , а резервного p₂(t), то вероятность P₂(t) дублированной системы:

Преобразуем:

Окончательно имеем:

Вероятность отказа Q(t) в этом случае:

Найдём вероятность отказа в случае равнонадёжных устройств:

Найдём вероятность безотказной работы Р_m системы, имеющей (m – 1) резервных аппаратов. Эту систему можно представить как имеющую m – 2 резервных аппаратов с дополнительным одним ре­зервным.

Аналогично вышеприведённым рассуждениям получим:

,

где f_m-1( ) – плотность вероятности системы, имеющей (m – 2) ре­зервных аппаратов.

Аналогично получим

4.5 Резервирование систем.

Рассматривая систему, состоящую из n последовательно соеди­нённых элементов, можно предложить несколько вариантов её резер­вирования.

Общее резервирование означает, что при выходе из строя любо­го элемента включается резервная цена, которая полностью заменяет данную. Имеется (m – 1) резервных цепей (всего m цепей).

Если Р_i – вероятность безотказной работы одного элемента, a P_J - всей цепи, то безотказность системы будет:

При одинаковых элементах (P_i = P₁) формула примет следующий вид:

P(t)=l - (1-P₁ⁿ)^m

Например, при n =4 , m =3 и Р₁ = 0,9

P(t) = l - (1-0,9⁴)³ = 0,958

Раздельное резервирование, обеспечивающее возможность включения резервного элемента при выходе из строя любого элемента, значительно повышает надёжность системы. В этом случае вероят­ность безотказной работы системы вычисляется по формуле:

Р_р(t) = П[1 – П(1-Р_i)]

При одинаковых значениях P_i формула примет вид:

P_p=[1 – (1-P_i)^m]ⁿ

Используя данные вышеприведённого примера, получим:

Р_р = (1- 0,1³)⁴ = 0,999⁴, что соответствует очень безотказности системы. Следует отметить, что раздельное резервирование приводит к усложнению всей системы, что снижает эффект от её применения.

На практике часто применяют смешанные системы резервиро­вания с общим резервированием отдельных цепей и раздельным ре­зервированием наиболее ответственных и менее надёжных элементов.

4.6 Метод построения и анализа структурных схем.

При расчёте схемной надёжности данную систему представляют в виде структурной схемы, в которой элементы, отказ которых при­водит к отказу всей системы изображаются последовательно. а ре­зервные элементы или цепи параллельно.

При расчёте схемной надёжности необходимо предварительно иметь данные о надёжности каждого элемента. Пусть, например, для простейшей системы из четырёх звеньев, известны значения вероят­ности безотказной работы каждого звена (рисунок 4.10а), которые равны P₁=0,9; Р₃=Р₄=0,98. Тогда вероятность безотказной работы этой системы будет равна:

P(t)= P_lP₂P₃P₄ = 0,855

Рисунок 4.10 – структурная схема.

Если необходимо повысить надёжность системы без изменения качества самих элементов, то это можно сделать за счёт дублирования второго элемента, надёжность которого значительно ниже остальных элементов (рисунок 4.10б). В этом случае вероятность безотказной работы основного и резервного элементов 2 и 2¹ будет:

P_2рез=1-(1-P₂)²=1-(1-0,9)²=0,99

Т.о надёжность резервного элемента на порядок выше, чем у ка­ждого из пары. Поэтому безотказность работы всей системы возрас­тает и станет равной:

P(t) = P₁[1 - (1 - Р₂)²] Р₃ Р₄ = 0,99 х 0,99 х 0,98 хО,98 0,94

Для сложных систем обычно просчитывают аналогичным обра­зом различные варианты соединения и резервирования и выбирают оптимальное решение.

Для систем, в которых имеет место более сложные функцио­нальные связи, чем последовательное или параллельное соединения элементов, можно использовать формулу полной вероятности (формула Байеса) для оценки безотказности их работы (литература: Ба­зовский И. Надёжность, теория и практика. М., Мир, 1965 - 373 с.)