1.Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.
(а, b)=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа.
a- действительная часть, bi - мнимая
Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме:
1) Суммой (разностью) комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется число
z = z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i (b1 ± b2) .
При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) действительные и мнимые части соответственно.
2) Произведением двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется число
z =z1z2 = (a1a2 – b1 b2 )+ (a1 b2 + b1 a2 )i.
3) Частным от деления числа z1 на z2 ( z2 ≠ 0 ) называется число, z=z1/z2 такое, что справедливо равенство z1 = z z2 .
Чтобы разделить число z1 на z2, следует и числитель, и знаменатель дроби умножить на число z2 сопряженное знаменателю.
4) Сопряженным комплексному числу z равное z=a+bi называют комплексное число, обозначаемое z=a-bi
5) Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части: a1=a2, b1=b2.
2. Геометрическая интерпретация комплексного числа на комплексной плоскости.
Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z. Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.
3. Модуль и аргумент комплексного числа.
Модулем комплексного числа z=a+bi=(a,b)
называют длину радиус-вектора,
изображающего комплексное число на
координатной (комплексной) плоскости.
Модуль комплексного числа a+ bi обозначается
| a+ bi | или буквой r и равен:
Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют направленный угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, изображающим данное комплексное число.
Обозначается: arg z=arg(a+bi)=φ
cosφ=a/r → a=r*cosφ; sinφ=b/r → b=r*sinφ
Свойства модуля и аргумента комплексных чисел:
z1=r(cosφ+isinφ); arg z1=φ; |z1|=r; z1≠0
z2=ρ(cosψ+isinψ); arg z2=ψ; |z2|=ρ; z2≠0
Модуль произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен произведению модулей сомножителей.
Аргумент произведения двух комплексных чисел z1 и z2 равен сумме аргументов сомножителей.
z1*z2=r(cosφ+isinφ)*ρ(cosψ+isinψ)=r*ρ[cosφcosψ+icosφsinψ+isinφcosψ+i2sinφcosψ]=r*ρ[(cosφcosψ-sinφsinψ)+(cosφsinψ+sinφcosψ)i]=r*ρ[cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ)]
|z1*z2|=r*ρ=|z1|*|z2|
Arg(z1*z2)=φ+ψ=argz1+argz2
Модуль частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен частному от деления |z1| и |z2|
Аргумент частного двух комплексных чисел z1 и z2 равен разности аргумента делимого и делителя.
z1/z2=r(cosφ+isinφ)/ρ(cosψ+isinψ)=r(cosφ+isinφ)(cosψ-isinψ)/ρ(cosψ+isinψ)(cosψ-isinψ) =r(cosφcosψ+isinφcosψ-icosφsinψ-i2sinφsinψ)/ρ[cos2ψ-(isinψ)2] =r[(cosφcosψ+sinφsinψ)+(sinφcosψ-cosφsinψ)i]/ρ[cos2ψ+sin2ψ]=r\ρ *[cos(φ-ψ)+isin(φ-ψ)]
|z1|/|z2|=r/ρ; arg |z1|/|z2|=φ-ψ=argz1-argz2
Теорема об аргументе: argz=arg(a+bi)={arccos a/r, при b≥0; 2π-arccos a/r, при b<0}