Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: где Свойства определенного интеграла Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].  где k - константа; Если   для всех  , то  . Если   в интервале [a, b], то  Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то Площадь криволинейной трапеции Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функцииf (x) (рисунок 1), определяется по формуле Рис.1 Рис.2 Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой Замена переменной в определенном интеграле Определенный интеграл   по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t): Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).  Интегрирование по частям для определенного интеграла В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид: где   означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

Пример 1

Вычислить интеграл  . Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример 2

Вычислить интеграл  . Решение.

Пример 3

Вычислить интеграл  . Решение. Сделаем замену:        Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

Пример 4

Вычислить интеграл  . Решение. Запишем интеграл в виде        Используем интегрирование по частям:  . В нашем случае пусть будет        Следовательно, интеграл равен

Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми   и  . Решение. Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).        Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна        Рис.3 Рис.4

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций   и  . Решение. Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).        Данная область ограничивается сверху параболой  , а снизу - прямой линией  . Следовательно, площадь этой области равна

Пример 7

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1). Решение. Найдем сначала уравнение стороны ОА (рисунок 5).        Аналогично, получим уравнение стороны ОВ.        Наконец, найдем уравнение третьей стороны АВ.        Как видно из рисунка 5, площадь треугольника равна сумме двух интегралов:        Рис.5 Рис.6

Пример 8

Вычислить площадь эллипса  . Решение. В силу симметрии (см. рис.6), достаточно вычислить площадь полуэллипса, расположенного выше оси 0x, и затем результат умножить на 2. Площадь полуэллипса равна        Для вычисления данного интеграла используем тригонометрическую подстановку x = asin t, dx = acos tdt. Уточним пределы интегрирования. Если x = − a, то sin t = −1 и  . Если x = a, то sin t = 1,  . Таким образом, мы получаем        Следовательно, полная площадь эллипса равна πab.

Вычисление площади в декартовых координатах

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b, a<b, и кривыми   , то ее площадь вычисляется по формуле

 (рис. 1).

Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ.

В некоторых случаях границы х=а и х=b могут вырождаться в точку пересечения кривых   .

В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы которых удовлетворяют указанным соотношениям.

При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:

-  построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;

-  найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;

-  записать формулу для вычисления и найти площадь.

Рисунок 1.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой   и прямой х+у=3.

Решение. Выполним построение и найдем точки пересечения параболы и прямой из системы уравнений

 .

Исключив    из системы, получим уравнение   .

Корнями этого уравнения являются   и   .

Рисунок 2.

Из рисунка 2 видно, что   на отрезке [-2;1], поэтому формула для вычисления площади имеет вид:

 .

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте, ограниченной кривыми   .

Решение. Заданные уравнения определяют следующие кривые:

 - парабола с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии ОХ;

 - парабола с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии ОУ;

 - окружность радиуса   с центром в точке (0;0). Фигура, образованная кривыми, изображена на рисунке .3.

Рисунок 3.

Найдем координаты точек А, В, О.

Очевидно, что О – начало координат. Точка А образована пересечением кривых   и   . Найдем ее координаты из решения системы

 .

Исключая у, получим уравнение:   , корнями которого являются значения:   . Поскольку фигура располагается в первом квадранте, то следует оставить только значение х=1, которому соответствует ордината у=2, то есть точка А(1;2).

Найдем координаты точки В, полученной пересечением параболы   и окружности   :

 .

При решении системы удобно исключить х, тогда из уравнения   получим, рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, координаты точки В(2;1).

Если теперь обратиться к общей формуле вычисления площади

 , то можно заметить, что верхняя кривая   задана двумя разными уравнениями: на отрезке [0;1] – это парабола   , а на отрезке [1;2] – дуга окружности   . Нижняя кривая задана одним уравнением   на всем отрезке [0;2]. Таким образом, при вычислении площади основную фигуру придется разбить на две и вычислить площадь как сумму двух интегралов

 .

Вычислим каждый из интегралов отдельно.

 .

 .

Окончательно получаем

 .

Замечание 1. Интеграл   был вычислен по частям:

 ;

 ,

 .

Замечание 2. Поскольку искомая фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то вычисление интеграла можно было выполнять по переменной у совершенно аналогично:

 .

Вычисление площади в полярных координатах

Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой   , где   - неотрицательная непрерывная кривая на отрезке   . Разобьем угол   на n частей лучами  <   <…<   и обозначим   (рисунок 4).

П лощадь криволинейного сектора равна сумме n площадей   , заданных разбиением   , i = 1, 2, …, n,   .

Выберем один из элементов разбиения   , соответствующий сектору   , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение   . Значение функции   в точке   обозначим   Рисунок 4

и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса   , площадь которого   . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения  и просуммируем полученные значения.

Сумма площадей круговых секторов

представляет собой интегральную сумму , предел которой, существующий в силу непрерывности функции   , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах

При вычислении площади фигуры в полярных координатах рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой   и окружностью   .

Решение. Выполним построение фигуры (рисунок 5).

Рисунок 5.

Из рисунка видно, что пересечение кривых образует три различных фигуры: вне круга, вне кардиоиды и внутренняя часть кардиоиды и окружности. Рассмотрим вычисление площади одной из них, расположенной вне кардиоиды (заштрихованная часть на рисунке).

Найдем точки пересечения кривых из системы

 ,откуда 

 ;

 .

При   искомая площадь представляет собой часть круга, вырезанного кардиоидой, поэтому следует рассмотреть разность площадей   , где   - площадь полукруга, а   - площадь, ограниченная кардиоидой и лучами   .

Согласно формуле   запишем

 .

Замечание. Для вычисления площади, образованной пересечением заданных кривых, расположенной вне круга, надо рассмотреть разность площадей, ограниченных кардиоидой и кругом при   .

Для вычисления внутренней части кардиоиды и окружности надо рассмотреть сумму площадей, одна из которых представляет половину круга при  , а вторая – сегмент кардиоиды при   .

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

 >0.

Решение. Перейдем к полярным координатам и,используя формулы   , запишем уравнение кривой :

 ,

 ,

 .

Так как   , то уравнение примет вид

 ,

 ,

 .

Из формулы следует, что   определено для   ,   для любого значения   , принимает наибольшее значение   при   , n – целое, и наименьшее значение   при   (рисунок 6).

Рисунок 6.

Площадь ограничена замкнутой кривой, симметричной относительно полярной оси и лучей   , потому достаточно вычислить одну восьмую часть площади и умножить полученный результат на восемь:

 ;

 .