Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача). Экономическая постановка задачи.
Постановка задачи
Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом.
Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов
потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:
-
объем производства (запас) i-го поставщика,
i=1, m ;
-
объем потребления (спрос) j-го
потребителя, i=1, n ;
-
стоимость перевозки (транспортные
затраты) единицы продукта от i-го
поставщика к j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос
всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех
перевозок была бы минимальна.
Математическая модель транспортной задачи имеет вид
Транспортная задача, в которой суммарные запасы
и суммарные потребности
совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае -открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.
В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные
потребности, т.е.
вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого
В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные
запасы, т.е.
, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого
Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика
полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.
Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к
закрытой модели.
9.2 Основные свойство транспортной задачи
Математические модели любых транспортных задач ЛП обладают общими чертами, а именно,
1) коэффициенты целевой функции неотрицательны (стоимости перевозок не могут быть отрицательными величинами);
2) коэффициенты правых частей ограничений неотрицательны (запасы и потребности продукта);
3) коэффициенты в ограничениях принимают только два значения, это нули и единицы.
В силу этих особенностей транспортная задача обладает следующими свойствами.
Теорема 1.
Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент.
Доказательство.
Количество базисных компонент определяется число линейно независимых ограничений задачи. В транспортной задаче не все m+n ограничений линейно-независимы.
Действительно, сложив первые m ограничений и следующие n ограничений задачи, получим
Но в закрытой модели выполняется балансовое равенство
поэтому получаем, что нетривиальная линейная комбинация строк ограничений (линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами) равна нулю. Это означает, что среди ограничений задачи есть линейно-зависимое ограничение. Следовательно, число линейно-независимых ограничений равно m+n-1 и базис задачи состоит из m+n-1 компонент.
Теорема доказана
В силу специфики содержательной постановки транспортной задачи допустимое решение называется планом, базисное допустимое решение называетсяопорным планом, оптимальное решение называется оптимальным планом.
Теорема 2.
Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда.
Доказательство.
Оптимальное решение задачи ЛП существует, если, во-первых, существует допустимое решение и, во-вторых, целевая функция ограничена на этом допустимом решении.
Покажем существование допустимого решения. Так как
суммарные запасы
совпадают с суммарными потребностями
то всегда можно найти такой план перевозок, который будет допустимым решением (все запасы вывозятся и все потребности выполняются в силу балансового равенства).
Покажем ограниченность целевой функции.
Так как
следовательно L ограничена снизу нулем для всех допустимых решений.
Теорема доказана