- •Общая постановка задачи оптимизации.
- •Классическая задача на условный экстремум. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.
- •Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.
- •Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств.
- •5. Общая задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования для двух переменных.
- •Решение задачи линейного программирования симплекс–методом. Симплексные таблицы. Алгоритм симплекс–метода.
- •Решение задачи оптимизации выпуска продукции симплекс–методом.
- •Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача). Экономическая постановка задачи.
- •9.2 Основные свойство транспортной задачи
- •9.3 Двойственная задача
- •9.4 Теоремы двойственности
- •9.5 Построение опорного плана транспортной задачи
- •9.6 Метод севево-западного угла
- •Математическая модель транспортной задачи. Открытые и закрытые задачи. Допустимый, опорный и оптимальный планы перевозок.
- •11. Построение начального (опорного) плана перевозок по методу северо–западного угла и по методу наименьшей стоимости.
- •12. Теорема о потенциалах. Метод потенциалов. Транспортные таблицы. Понятие цикла. Сущность метода потенциалов.
- •13.Критерий оптимальности и неоптимальности опорного плана. Критерий единственности оптимального опорного плана.
- •14. Понятия испытания и случайного события. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Вероятность случайного события.
- •15. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Событие, благоприятствующее данному. Равновозможные события. Совокупность элементарных исходов.
- •16.Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.
- •17. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.
- •18. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.
- •19. Вероятность противоположного события. Условная вероятность.
- •20. Сумма и произведение случайных событий. Теорема сложения вероятностей: для двух произвольных событий, для двух несовместных.
- •21. Теорема умножения вероятностей: для двух произвольных событий; для двух независимых событий; для нескольких событий, независимых в совокупности.
- •22. Формула полной вероятности.
- •23. Теорема Байеса.
- •24. Формула Бернулли
- •25. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа.
- •26. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства.
- •1) Биномиальное распределение (дискретное)
- •2) Пуассоновское распределение (дискретное)
- •3) Показательное распределение (непрерывное)
- •4) Равномерное распределение (непрерывное)
- •5) Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
- •27. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.
- •28. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их основные свойства.
- •29. Биномиальный закон распределения.
- •30. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.
- •Ц.П.Т. Ляпунова
- •Слабый закон больших чисел
- •Усиленный закон больших чисел
- •Значение теоремы Чебышева для практики.
- •51. Понятие критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Односторонняя и двусторонняя критическая область, критические точки. Мощность критерия.
- •56. Коэффициенты регрессии. Линии регрессии.
- •59. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии.
1) Биномиальное распределение (дискретное)
- количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна . .
Закон распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
….. |
k |
….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: .
Характеристики: , ,
Примеры многоугольников распределения для и различных вероятностей:
2) Пуассоновское распределение (дискретное)
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.
Ряд распределения:
|
0 |
1 |
….. |
k |
….. |
|
|
|
….. |
|
….. |
Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: .
Числовые характеристики: , ,
Разные многоугольники распределения при .
3) Показательное распределение (непрерывное)
Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.
Плотность распределения:
Где .
Числовые характеристики: , ,
Плотность распределения при различных значениях .
4) Равномерное распределение (непрерывное)
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.
Плотность распределения:
Числовые характеристики: , ,
График плотности вероятностей:
5) Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Плотность распределения:
Числовые характеристики: , ,
Пример плотности распределения:
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.
Функция Лапласа .
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины на величину от математического ожидания (по модулю).
.
Функцией распределения случайной величины мы назвали функцию . Основные свойства этой функции заключены в теореме:
Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:
(F1)
она не убывает: если , то ;
(F2)
cуществуют пределы и ;
(F3)
она в любой точке непрерывна слева: