3.3. Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Пусть имеем дифференциальное уравнение

с начальными .

Ищем решение на отрезке [ ].

П усть имеем точку ( ) принадлежащую искомому решению. Для того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке ( )

До пересечения с прямой где

Тогда , получим координату (по фор­муле Эйлера)

Теперь найдем тангенс угла наклона касательной в т.В ( (прямая L ).

Через точку А про ведем прямую I ||L . Ординату точки пересечения прямых и

возьмем в качестве

Таким образом

для системы дифференциальных уравнений

расчетные формулы имеют вид:

Пример.

Задано:

Уравнение уу + 2х² = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у = -2х²/у. Разобьем интервал [1,2] на десять шагов с шагом h = 0,1.

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 2-го порядка:

Пример вычисления (первый шаг):

x_0+1/2 = х₀ + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05;

y_1+1/2 = y₀ + h/2  f(y₀, x₀) = 3 + (0,1/2)(-21²)/3 = 2,9666.

x₁ = х₀ + h = 1 + 0,1 = 1,1;

y₁ = y₀ + h  f(y_0+1/2, x_0+1/2) = 2,96+(0,1)*(-2*1,05^2/2,96)=2,885506.

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.

Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

ПРОГРАММА МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА 2-ГО ПОРЯДКА

3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Этот метод один из самых распространенных методов интегрирова­ния дифференциальных уравнений.

Для одиночного дифференциального уравнения расчетные формулы имеют следующий вид:

где

Для системы дифференциальных уравнений

Для системы дифференциальных уравнений

расчетные формулы запишутся следующим образам:

4. Моделироваие кинетики химической реакция

Пример.

Задано:

I. Схема механизма химической реакции

2. Константы скоростей отдельных стадий реакции

3. Начальные концентрации компонентов

4. Продолжительность реакции 15 сек.

5. Метод численного решения - Эйлера.

Выполнение работы

1. Система , дифференциальных уравнения, представлявшая кинетическую модель данной химической реакции:

2. Расчетные формулы метода Эйлера:

3. Результаты численного решения системы дифференциальных уравне­ний на калькуляторе. h= 0,2; 5 шагов по времени.

Таблица результатов расчета

№		СА	СВ	СС	СД
Q	0	0,7	0	0	0
I	0,2	0,5936	0,1064	0	0
2	0,4	0,5161	0,1541	0,0192	0,0106
3	0.6	0,4562	0,1726	0,0452	0,0260
4	0,8	0,4076	0,1770	0,0722	0,0433
5	I	0,3669	Q.I747	0,0976	0,0610