Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Алгебра и начала анализа

Файл:

Примеры решения задач.doc

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе

Пример 1. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования:

Решение. 1. Функция является показательно-степенной. Прологарифмируем её по основанию e:

Дифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что y – это функция от x. Используя формулы дифференцирования сложной функции и произведения функций, получаем:

Выразим из последнего равенства:

Подставим вместо переменной заданное выражение и приходим к ответу

2. .Прологарифмируем равенство, задающее функцию по основанию и используем основные свойства логарифмов:

;

Дифференцируем полученное равенство при условии, что y – это функция от x.

Выразим далее и заменим переменную y заданным выражением:

;

Пример 2. Вычислить производную показательно-степенной функции, используя переход к основанию e:

Решение: Используем формулу (3).

Полученную функцию продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Пример 1: Найти производную функции, используя возможные способы

1) 2)

Решение. 1) I способ. Из первого уравнения системы выразим через :

Полученное выражение подставим во второе уравнение вместо :

Получили функцию одной переменной . Дифференцируем её:

II способ. Используем формулу (6):

В полученное выражение подставим , получим:

I способ.

2. Выразим из первого уравнения системы переменную :

;

Подставляем во второе уравнение системы, получим сложную функцию переменной :

, которую продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:

II способ. Воспользуемся формулой (6):

;

Подставляя выраженія в формулу (6), получим:

Подставим , получим:

Пример 2

Вычислите значение производной параметрически заданной функции в точке Решение: Функция задана параметрически. Дифференцируем её используя формулу (6).

Вычисляем:

Подставим полученные выражения в формулу (14):

Найдем значение производной в заданной точке.

Подставим значение в полученное выражение:

, т.е. .

Пример 3

Вычислить , используя возможные способы:

1) ;

Решение. 1. Данное уравнение задает неявно функцию . Продифференцируем её двумя способами:

I способ. Выразим из уравнения через :

Продифференцируем выражения по переменной :

II способ. Продифференцируем обе части уравнения по переменной , считая, что есть функция от :

Откуда выразим :

;

2. .

Функция задана неявно в данном случае невозможно выразить переменную через , поэтому дифференцируем обе части равенства, учитывая, что y есть функция аргумента x:

Из полученного равенства выражаем

Приходим к ответу:

Необходимое и достаточное условия

дифференцируемости функций. Дифференциал

функции

Пример 1. Вычислить значение дифференциала функции при и

Решение. Дифференциал функции вычислим по формуле (9). Найдем :

Найдем .

Подставляя найденные значения в формулу, получим,

Пример 2. Вычислить дифференциал функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Найдем ;

Подставляем полученное выражение в формулу (10), получим:

Пример 3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение выражения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Воспользуемся формулой (11) для функции при Считаем, что

Вычислим

Найдем

Тогда:

Таким образом,

2) Будем находить приближенное значение функции в точке по формуле (11). Обозначим , откуда ,

Найдем значение

Вычислим производную функции

откуда

Подставив найденные значения в формулу (11)б получим

Таким образом, получим ответ

3) Необходимо найти приближенное значение функции в точке

Представим откуда

Тогда

Поскольку то

Тогда по формуле (11), получим:

Итак,

Пример 4. Куб со стороной м увеличился на 0,05 своего объема. Вычислить приближенно приращения ребра куба.

Решение. Объем куба со стороной a вычисляется по формуле Поэтому первоначальный объем куба равен По условию приращение объема куба равно 0,05 всего объема, т. е.

Так как то

Дифференциал функции вычисляем по формуле (9), т. е.

откуда

Вычислим значение производной для :

Теперь найдем

Таким образом, ребро куба увеличилось приблизительно на 0,16 (м).

Производные и дифференциалы высшего порядка

Пример 1. Вычислить для функции .

Решение. Необходимую производную удобно найти использую формулу Лейбница (13). Для производной 4-го порядка формула Лейбница примет вид:

Функцию представим в виде Введем обозначения: . Для функции найдем производные:

Аналогично для функции получим:

Правило Лопиталя. Формула Тейлора

Пример 1. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя:

Решение. 1. Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида . Поскольку условия теоремы 1 выполняются, используем правило Лопиталя. По формуле (17) имеем:

2. 2)

Непосредственное вычисление предела дает неопределенность вида , поэтому используем формулу (17):

3. 3)

Имеем неопределенность вида Поэтому, чтобы воспользоваться (17), преобразуем выражение, стоящее под знаком предела.

Исследование функций. Наибольшее

и наименьшее значение функций на промежутке

План исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции .

2. Найти область значений (если это возможно вначале, часто можно указать только по результатам исследования).

3. Исследовать функцию на четность.

4. исследовать на периодичность.

5. Найти точки пересечения с осями Ox (нули функции) и Oy.

6. Найти промежутки знакопостоянства функции.

7. Исследовать на непрерывность, дать классификацию разрывов.

8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную).

9. Исследовать на монотонность и экстремум.

10. Исследовать на выпуклость, вогнутость, перегиб.

11. Построить график функции.

Пример 1. Найти экстремумы функции

Решение. Подозрительными на экстремумы точками будут те, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Найдем производную функции

Она определена для любого .

Приравняем производную к нулю.

, значит, Решая это уравнение, получим Областью определения функции является числовая прямая. Воспользовавшись теоремой 1, исследуем поведение функции на промежутках , , .

Для этого определим знак производной, т. е. выражения Очевидно, что для всякого выполняется неравенство поэтому знак выражения зависит от знака квадратичного выражения (рис. 4).

Рис. 4.

Так как при «переходе» через точку с абсциссой производная меняет знак с «+» на «–», то, согласно теореме 1, в этой точке функция достигает максимума. Максимум функции равен значению функции в точке :

Итак, максимум функции равен

При «переходе» через точку производная меняет знак с «–» на «+». Поэтому в данной точке функция достигает минимума.

Вычислим значение функции в точке :

Итак, локальный минимум функции равен

Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции произведем согласно указанному выше плану.

1. Область определения функции:

2. Область значений E(f) укажем по результатам исследования.

3. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Функция не является четной и нечетной.

4. Функция непериодическая.

5. Найдем точки пересечения графика с координатными осями.

Если у = 0, т. е. то х = 1, х = –3 – точки пересечения оси Ох (нули функции).

Если х = 0, то у = 3 – точка пересечения оси Оу.

6. Найдем промежутки знакопостоянства функции. Используем метод интервалов (рис. 6).

Рис. 6.

Получаем: если если

7. Функция непрерывна на всей числовой оси.

8. Асимптот нет.

9. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Найдем

Производная существует Критическими точками являются те, для которых т. е. и

Исследуем знак производной для конкретных промежутков, на которые критические точки делят числовую ось (рис. 7).

Рис. 7

Согласно теореме 1, функция возрастает на множестве и убывает на что схематически показано на рис. 7. В точке она имеет локальный максимум, а в точке х = 1 – минимум. Найдем их значения:

10. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и перегиб. Вычислим производную 2-го порядка:

Если то т. е. – критическая точка 2-го рода, иных нет.

Имеем если и если (рис. 8).

Рис. 8

Значит, график функции является выпуклым на и вогнутым на согласно теореме 6. – точка перегиба (теорема 7).

11. Используя полученные данные, построим график функции (рис. 9).

Рис. 9

Заметим, что

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения

2. Область значений E(f) укажем по результатам исследования.

3. Поскольку область определения D(f) функции не является множеством, симметричным относительно х = 0, то функция не является четной и нечетной.

4. Функция непериодическая.

5. График функции не пересекает ось Ох, так как для всех

Если х = 0, то – точка пересечения оси Оу.

6. Для всех выполняется т. е. функция знакоположительна.

7. Функция непрерывна на своей области определения, х = 2 – точка разрыва.

Исследуем характер разрыва.

Вычисляем односторонние пределы в точке х = 2.

Следовательно, х = 2 – точка разрыва II рода (бесконечный скачок).

8. Исследуем функцию на асимптоты. Поскольку

то у = 1 – горизонтальная асимптота.

Мы показали, что в точке х = 2 имеется бесконечный скачок, а поэтому х = 2 – вертикальная асимптота.

Ищем наклонную асимптоту

Получаем у = 1 – это горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот нет.

9. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

Найдем производную функции:

Производная положительна на всей D(f). Следовательно, функция возрастает всюду, где она определена. Экстремума нет.

10. Находим вторую производную:

Поскольку и на D(f), то знак производной 2-го порядка зависит от знака выражения 5 – 2х. Очевидно, что если На этих промежутках график функции вогнут.

Если то т. е. график функции является выпуклым на этом промежутке. Точка является точкой перегиба, так как при этом значении вогнутость графика изменяется на его выпуклость. Найдем ординату, соответствующую точке перегиба: