- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
- •В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
- •В.13 Векторное произведение
- •В.14 Смешанное произведение
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •. Поверхности второго порядка
- •Предел функции в точке и на бесконечности
- •II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
- •. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
- •Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
В.14 Смешанное произведение
Пример 1. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить их смешанное произведение.
Решение. По определению, . Вектор образует с и правую тройку, причем Значит Кроме того,
Тогда
Пример 2. Вычислить и определить ориентацию этой тройки векторов, если Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу.
Решение.
Поскольку смешанное произведение отрицательно, тройка векторов является левой. Находим объем параллелепипеда:
Пример 3. Доказать, что точки A(1, 2, –1), B(0, 1, 5), C(–1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Решение. Рассмотрим три вектора
Согласно формуле (10) их смешанное произведение:
а это значит, что векторы – компланарны и лежат в одной плоскости, т. к. имеют общее начало. Таким образом, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.
Пример 4. Вычислить объем треугольной пирамиды OABC, если
Решение.
,
где – объем параллелепипеда, построенного на векторах
Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения
.
Поскольку
то получаем
Плоскость в пространстве
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно векторам и .
Решение. Поскольку векторы и не коллинеарны (их координаты не являются пропорциональными), то согласно (1), составим уравнение:
Преобразуем левую часть:
Таким образом общее уравнение искомой плоскости
Пример 2. Составить уравнение плоскости P, проходящей через точки и параллельно вектору .
Решение. Векторы и неколлинеарны. Поэтому, согласно (1), уравнение плоскости имеет вид
т. к. векторы и компланарны. Здесь Откуда получаем общее уравнение
Можно рассуждать при построении уравнения также следующим образом. В качестве нормального вектора плоскости P может быть взят вектор
Тогда уравнение плоскости согласно формуле (2) примет вид:
или
Пример 3. Записать уравнение плоскости
1) «в отрезках»; 2) в параметрическом виде
Решение. 1) Перепишем уравнение плоскости в виде откуда после деления на –2 получим искомое уравнение «в отрезках»:
2) Из полученного уравнения «в отрезках» имеем: точки и лежат в плоскости P. тогда в качестве двух неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости P, можно взять и Тогда векторно-параметрическое уравнение плоскости примет вид откуда в координатной форме получим:
Это и есть параметрическое уравнение плоскости P.
Пример 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости
Решение. Так как свободный член уравнения плоскости то нормирующий множитель
Тогда нормальным уравнением будет
Значит, а расстояние от начала координат до плоскости равно 3.
Пример 5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние
Решение. Пусть – точка искомой плоскости. Тогда и Отсюда уравнения искомых плоскостей и
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 0, –1), B(1, 3, –4) и образующей угол с плоскостью
Решение. Не ограничивая общности. Будем искать уравнение плоскости в виде
Поскольку точки A(1, 0, –1) и B(1, 3, –4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит имеем
откуда Подставим найденные значения D и B, выраженные через C, в уравнение плоскости:
Следовательно, нормальный вектор .
Воспользуемся тем, что плоскость образует угол с плоскостью нормальный вектор которой . По формуле косинуса угла между плоскостями имеем:
откуда или Находим C, преобразовывая последнее равенство:
Имеем окончательно уравнение плоскостей:
Уравнение прямой в пространстве. Взаимное
расположение прямых
Пример 1. Составить канонические уравнения прямой:
1) проходящей через точку параллельно вектору
2) проходящей через две заданные точки и
3) заданной общими уравнениями
Решение. 1) Пусть – произвольная точка искомой прямой. Тогда т. е. их координаты пропорциональны. Т. к. то имеем соотношения:
которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными свойствами на плоскости.
2) Пусть – произвольная точка прямой. Тогда векторы и – коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны.
Т. к. то имеем:
Это и есть искомый результат.
3) Для перехода от общих уравнений прямой L к каноническим обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку фиксируя числовые значения одной из координат и решая относительно нее систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий вектор прямой L как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих L. Проиллюстрируем на примере.
– направляющий вектор плоскости , – нормальный вектор плоскости
Тогда вектор . Определим его координаты:
Для нахождения точки зафиксируем одно из координатных значений, например, Тогда, подставив в заданные общие уравнения получим:
или т. е. .
Таким образом, искомые канонические уравнения
Пример 2. Докажите, что прямые и параллельны, и найдите расстояние между ними, если они заданны параметрическими уравнениями:
и
Решение. Прямая имеет направляющий вектор , а – причем т. к. Значит,
Найдем расстояние между ними, используя формулу расстояния от точки до прямой. Тогда
где и – радиус-векторы точек и .
Значит,
Пример 3. Докажите, что прямые и пересекаются, и найдите координаты точки пересечения, если они заданны параметрическими уравнениями:
и
Решение. причем . Значит .
Прежде всего, определим, лежат ли прямые в одной плоскости, т. е. являются ли векторы и компланарными (здесь ). Найдем для этого их смешанное произведение:
Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно они пересекаются.
Найдем их точку пересечения .
при подстановке в уравнение .
Значит, Итак,
Пример 4. Докажите, что прямые и скрещиваются, и найдите расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:
и
Решение. причем . Значит . Определим, компланарны ли они. Т. к. то условием компланарности прямых служит компланарность векторов и . Найдем смешанные произведения этих векторов:
Значит, указанные векторы, а вместе с ними и прямые и не лежат в одной плоскости.
Прямые и скрещиваются, т. к. они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между ними по формуле:
Итак,